この問題は、行列のn乗の計算、一次変換を表す行列の決定、写像が一次変換であるかの判定、および回転行列に関する等式の証明に関するものです。具体的には以下の4つの問題があります。 (1) 行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ に対して、$A^n$ を求める。 (2) 行列 $A = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & a \end{pmatrix}$ に対して、$A^n$ を求める。 (3) ベクトル $\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$ をそれぞれ $\begin{pmatrix} -2 \\ -3 \end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix}$ に写す一次変換が存在する場合、対応する行列を求める。 (4) ベクトル $\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix} -4 \\ 2 \end{pmatrix}$ をそれぞれ $\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ に写す一次変換が存在する場合、対応する行列を求める。 (5) 以下の写像 $f$ が一次変換であるかどうかを判定し、一次変換であれば対応する行列を求める。 (i) $f\left(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix}$ (ii) $f\left(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} x+1 \\ y-1 \end{pmatrix}$ (iii) $f\left(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} xy \\ y \end{pmatrix}$ (iv) $f\left(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} x^2 \\ y \end{pmatrix}$ (6) 2x2回転行列 $R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}$ に対して、$R(\theta_1) R(\theta_2) = R(\theta_1 + \theta_2)$ を示す。

1. 問題の内容

この問題は、行列のn乗の計算、一次変換を表す行列の決定、写像が一次変換であるかの判定、および回転行列に関する等式の証明に関するものです。具体的には以下の4つの問題があります。

(1) 行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ に対して、$A^n$ を求める。

(2) 行列 $A = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & a \end{pmatrix}$ に対して、$A^n$ を求める。

(3) ベクトル $\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$ をそれぞれ $\begin{pmatrix} -2 \\ -3 \end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix}$ に写す一次変換が存在する場合、対応する行列を求める。

(4) ベクトル $\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix} -4 \\ 2 \end{pmatrix}$ をそれぞれ $\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ に写す一次変換が存在する場合、対応する行列を求める。

(5) 以下の写像 $f$ が一次変換であるかどうかを判定し、一次変換であれば対応する行列を求める。

(i) $f\left(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix}$

(ii) $f\left(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} x+1 \\ y-1 \end{pmatrix}$

(iii) $f\left(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} xy \\ y \end{pmatrix}$

(iv) $f\left(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} x^2 \\ y \end{pmatrix}$

(6) 2x2回転行列 $R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}$ に対して、$R(\theta_1) R(\theta_2) = R(\theta_1 + \theta_2)$ を示す。

2. 解き方の手順

(1)

$A = \begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ の場合:

$A^2 = \begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2a \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

$A^3 = A^2 A = \begin{pmatrix} 1 & 2a \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3a \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

したがって、$A^n = \begin{pmatrix} 1 & na \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ と推測できる。

(2)

$A = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & a \end{pmatrix}$ の場合:

$A^2 = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 & 2a \\ 0 & a^2 \end{pmatrix}$

$A^3 = A^2 A = \begin{pmatrix} a^2 & 2a \\ 0 & a^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^3 & 3a^2 \\ 0 & a^3 \end{pmatrix}$

したがって、$A^n = \begin{pmatrix} a^n & na^{n-1} \\ 0 & a^n \end{pmatrix}$ と推測できる。

(3)

求める行列を $B = \begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix}$ とする。

$\begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \end{pmatrix}$ より、$2p - q = -2$ と $2r - s = -3$ が得られる。

$\begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix}$ より、$p + 3q = 5$ と $r + 3s = 4$ が得られる。

これらの連立方程式を解くと、$p = -1/7, q = 12/7, r = -13/7, s = -5/7$ となる。

したがって、$B = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} -1 & 12 \\ -13 & -5 \end{pmatrix}$ である。

(4)

求める行列を $B = \begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix}$ とする。

$\begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}$ より、$2p - q = 1$ と $2r - s = 4$ が得られる。

$\begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -4 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ より、$-4p + 2q = 2$ と $-4r + 2s = -1$ が得られる。

最初の式を2倍すると $-4p + 2q = 2(-2p + q) = 2$。2つ目の式を2倍すると$-4r+2s = 2(-2r+s) = -1$となる。しかし、ベクトル$\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix} -4 \\ 2 \end{pmatrix}$は線形従属なので、解が一意に定まらない。線形独立なベクトルではないので、この条件下での一次変換は存在しない。

(5)

(i) $f\left(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix}$ は一次変換である。対応する行列は $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ である。

(ii) $f\left(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} x+1 \\ y-1 \end{pmatrix}$ は一次変換ではない。なぜなら、$f\left(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ だからである。

(iii) $f\left(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} xy \\ y \end{pmatrix}$ は一次変換ではない。なぜなら、$f(c\vec{x}) \ne cf(\vec{x})$ となるからである。

(iv) $f\left(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} x^2 \\ y \end{pmatrix}$ は一次変換ではない。なぜなら、$f(c\vec{x}) \ne cf(\vec{x})$ となるからである。

(6)

$R(\theta_1) = \begin{pmatrix} \cos \theta_1 & -\sin \theta_1 \\ \sin \theta_1 & \cos \theta_1 \end{pmatrix}$

$R(\theta_2) = \begin{pmatrix} \cos \theta_2 & -\sin \theta_2 \\ \sin \theta_2 & \cos \theta_2 \end{pmatrix}$

$R(\theta_1) R(\theta_2) = \begin{pmatrix} \cos \theta_1 \cos \theta_2 - \sin \theta_1 \sin \theta_2 & -\cos \theta_1 \sin \theta_2 - \sin \theta_1 \cos \theta_2 \\ \sin \theta_1 \cos \theta_2 + \cos \theta_1 \sin \theta_2 & -\sin \theta_1 \sin \theta_2 + \cos \theta_1 \cos \theta_2 \end{pmatrix}$

三角関数の加法定理より、

$\cos(\theta_1 + \theta_2) = \cos \theta_1 \cos \theta_2 - \sin \theta_1 \sin \theta_2$

$\sin(\theta_1 + \theta_2) = \sin \theta_1 \cos \theta_2 + \cos \theta_1 \sin \theta_2$

したがって、

$R(\theta_1) R(\theta_2) = \begin{pmatrix} \cos(\theta_1 + \theta_2) & -\sin(\theta_1 + \theta_2) \\ \sin(\theta_1 + \theta_2) & \cos(\theta_1 + \theta_2) \end{pmatrix} = R(\theta_1 + \theta_2)$

3. 最終的な答え

(1) $A^n = \begin{pmatrix} 1 & na \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

(2) $A^n = \begin{pmatrix} a^n & na^{n-1} \\ 0 & a^n \end{pmatrix}$

(3) $B = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} -1 & 12 \\ -13 & -5 \end{pmatrix}$

(4) 存在しない

(5) (i) 一次変換であり、$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$　(ii), (iii), (iv) 一次変換ではない

(6) $R(\theta_1) R(\theta_2) = R(\theta_1 + \theta_2)$