初項 $a$, 公差 $d$ の等差数列 $\{a_n\}$ がある。 $a_3 = 8$, $S_4 = 26$ のとき、以下の問いに答える。 (1) $a$ と $d$ を求めよ。 (2) $a_1 + a_4 + a_7 + a_{10} + a_{13} + \dots + a_{295} + a_{298}$ を求めよ。

1. 問題の内容

初項 $a$, 公差 $d$ の等差数列 $\{a_n\}$ がある。

$a_3 = 8$, $S_4 = 26$ のとき、以下の問いに答える。

(1) $a$ と $d$ を求めよ。

(2) $a_1 + a_4 + a_7 + a_{10} + a_{13} + \dots + a_{295} + a_{298}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$a_3 = 8$ より、

$a + 2d = 8$ ...(1)

$S_4 = 26$ より、

$\frac{4}{2}(2a + 3d) = 26$

$2(2a + 3d) = 26$

$2a + 3d = 13$ ...(2)

(2) - (1) x 2 より

$(2a + 3d) - 2(a + 2d) = 13 - 2(8)$

$2a + 3d - 2a - 4d = 13 - 16$

$-d = -3$

$d = 3$

(1)に代入して、

$a + 2(3) = 8$

$a + 6 = 8$

$a = 2$

(2)

$a_1, a_4, a_7, a_{10}, \dots, a_{295}, a_{298}$ は、初項 $a_1$, 公差 $3d$ の等差数列である。

$a_1 = a = 2$

$3d = 3(3) = 9$

$a_n = a_1 + (n-1)3d$

$a_n = 2 + (n-1)9$

$a_n = 9n - 7$

$a_{298} = 9n - 7$

$298 = 1 + (m-1)3$ より、$a_{298}$ が何番目の項か調べる。

$297 = (m-1)3$

$99 = m-1$

$m = 100$

求める和は、初項2、公差9の等差数列の100項までの和なので、

$\frac{100}{2}(2a_1 + (100-1)3d) = 50(2(2) + 99(9)) = 50(4 + 891) = 50(895) = 44750$

3. 最終的な答え

(1) $a=2, d=3$

(2) 44750