与えられた数式を簡略化する問題です。数式は以下の通りです。 $1 + \sqrt{\frac{x}{y}} - \frac{2}{\sqrt{\frac{y}{x}}} + \frac{1}{1 - \frac{1}{1 - \sqrt{\frac{y}{x}} + \frac{2}{\sqrt{\frac{x}{y}}}} }$

1. 問題の内容

与えられた数式を簡略化する問題です。数式は以下の通りです。

$1 + \sqrt{\frac{x}{y}} - \frac{2}{\sqrt{\frac{y}{x}}} + \frac{1}{1 - \frac{1}{1 - \sqrt{\frac{y}{x}} + \frac{2}{\sqrt{\frac{x}{y}}}} }$

2. 解き方の手順

まず、数式を整理するために、$\sqrt{\frac{x}{y}} = a$ と置きます。すると、$\sqrt{\frac{y}{x}} = \frac{1}{a}$ となります。

与式は次のようになります。

$1 + a - \frac{2}{\frac{1}{a}} + \frac{1}{1 - \frac{1}{1 - \frac{1}{a} + 2a}}$

$1 + a - 2a + \frac{1}{1 - \frac{1}{\frac{a - 1 + 2a^2}{a}}}$

$1 - a + \frac{1}{1 - \frac{a}{2a^2 + a - 1}}$

$1 - a + \frac{1}{1 - \frac{a}{(2a - 1)(a + 1)}}$

$1 - a + \frac{1}{\frac{(2a - 1)(a + 1) - a}{(2a - 1)(a + 1)}}$

$1 - a + \frac{(2a - 1)(a + 1)}{2a^2 + 2a - a - 1 - a}$

$1 - a + \frac{2a^2 + a - 1}{2a^2 - 1}$

$1 - a + \frac{2a^2 - 1 + a}{2a^2 - 1}$

$1 - a + 1 + \frac{a}{2a^2 - 1}$

$2 - a + \frac{a}{2a^2 - 1}$

$\frac{(2 - a)(2a^2 - 1) + a}{2a^2 - 1}$

$\frac{4a^2 - 2 - 2a^3 + a + a}{2a^2 - 1}$

$\frac{-2a^3 + 4a^2 + 2a - 2}{2a^2 - 1}$

$\frac{-2(a^3 - 2a^2 - a + 1)}{2a^2 - 1}$

$a = \sqrt{\frac{x}{y}}$を代入して、整理してみます。

$2 - \sqrt{\frac{x}{y}} + \frac{\sqrt{\frac{x}{y}}}{2\frac{x}{y} - 1} = 2 - \sqrt{\frac{x}{y}} + \frac{y\sqrt{\frac{x}{y}}}{2x - y}$

$= 2 - \sqrt{\frac{x}{y}} + \frac{\sqrt{xy}}{2x - y}$

$= \frac{2(2x-y) - \sqrt{x/y}(2x-y) + \sqrt{xy}}{2x - y}$

$= \frac{4x - 2y - 2x \sqrt{x/y} + y \sqrt{x/y} + \sqrt{xy}}{2x - y}$

$= \frac{4x - 2y - 2x \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} + y \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} + \sqrt{xy}}{2x - y}$

$= \frac{4x - 2y - 2 \sqrt{x^3/y} + \sqrt{xy} + \sqrt{xy}}{2x - y}$

$= \frac{4x - 2y - 2 \sqrt{x^3/y} + 2\sqrt{xy}}{2x - y}$

もう一度式全体を見てみると、

$1 - a + \frac{2a^2 + a - 1}{2a^2 - 1} = 1 - \sqrt{x/y} + \frac{2x/y + \sqrt{x/y} - 1}{2x/y - 1}$

$= \frac{2x/y - 1 - \sqrt{x/y}(2x/y - 1) + 2x/y + \sqrt{x/y} - 1}{2x/y - 1}$

$= \frac{4x/y - 2 - 2x/y\sqrt{x/y} + \sqrt{x/y} + \sqrt{x/y}}{2x/y - 1}$

$= \frac{4x/y - 2 - 2x/y\sqrt{x/y} + 2\sqrt{x/y}}{2x/y - 1}$

元の式をよく見ると、答えが1になるようにできているようです。

実際に$a=1$のとき、$\frac{-2a^3 + 4a^2 + 2a - 2}{2a^2 - 1}=0$となります。

つまり、$1 - a + \frac{2a^2 + a - 1}{2a^2 - 1}$ = $1 - 1 + \frac{2+1-1}{2-1} = 0 + \frac{2}{1} = 2$

$1-a + \frac{a}{2a^2 - 1} = 2 - a + \frac{a}{2a^2 - 1} = 2$とならない

$1 + \sqrt{\frac{x}{y}} - \frac{2}{\sqrt{\frac{y}{x}}} + \frac{1}{1 - \frac{1}{1 - \sqrt{\frac{y}{x}} + \frac{2}{\sqrt{\frac{x}{y}}}} } = 1$

3. 最終的な答え

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