与えられた数式を簡略化して評価します。数式は次のとおりです。 $\frac{9(a + b)^3 - (a + 2b)^3 - (2a + b)^3}{3ab(a + b)}$

1. 問題の内容

与えられた数式を簡略化して評価します。数式は次のとおりです。

$\frac{9(a + b)^3 - (a + 2b)^3 - (2a + b)^3}{3ab(a + b)}$

2. 解き方の手順

まず、分子を展開します。

$9(a + b)^3 = 9(a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3) = 9a^3 + 27a^2b + 27ab^2 + 9b^3$

$(a + 2b)^3 = a^3 + 3a^2(2b) + 3a(2b)^2 + (2b)^3 = a^3 + 6a^2b + 12ab^2 + 8b^3$

$(2a + b)^3 = (2a)^3 + 3(2a)^2b + 3(2a)b^2 + b^3 = 8a^3 + 12a^2b + 6ab^2 + b^3$

次に、分子全体を計算します。

$9(a + b)^3 - (a + 2b)^3 - (2a + b)^3 = (9a^3 + 27a^2b + 27ab^2 + 9b^3) - (a^3 + 6a^2b + 12ab^2 + 8b^3) - (8a^3 + 12a^2b + 6ab^2 + b^3)$

$= 9a^3 + 27a^2b + 27ab^2 + 9b^3 - a^3 - 6a^2b - 12ab^2 - 8b^3 - 8a^3 - 12a^2b - 6ab^2 - b^3$

$= (9a^3 - a^3 - 8a^3) + (27a^2b - 6a^2b - 12a^2b) + (27ab^2 - 12ab^2 - 6ab^2) + (9b^3 - 8b^3 - b^3)$

$= 0a^3 + 9a^2b + 9ab^2 + 0b^3$

$= 9a^2b + 9ab^2$

$= 9ab(a + b)$

したがって、与えられた式は次のようになります。

$\frac{9ab(a + b)}{3ab(a + b)}$

$ab(a + b)$ が0でないと仮定すると、次のように簡略化できます。

$\frac{9ab(a + b)}{3ab(a + b)} = \frac{9}{3} = 3$

3. 最終的な答え

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