与えられた数式を簡略化する問題です。数式は以下の通りです。 $1 + \sqrt{\frac{x}{y}} - \frac{2}{\sqrt{\frac{y}{x}}} + \frac{1}{1 - \frac{1}{1 - \sqrt{\frac{y}{x}} + \frac{2}{\sqrt{\frac{x}{y}}}} }$

1. 問題の内容

与えられた数式を簡略化する問題です。数式は以下の通りです。

$1 + \sqrt{\frac{x}{y}} - \frac{2}{\sqrt{\frac{y}{x}}} + \frac{1}{1 - \frac{1}{1 - \sqrt{\frac{y}{x}} + \frac{2}{\sqrt{\frac{x}{y}}}} }$

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{\frac{x}{y}} = a$ と置きます。すると $\sqrt{\frac{y}{x}} = \frac{1}{a}$ となります。与えられた式は以下のように書き換えられます。

$1 + a - \frac{2}{\frac{1}{a}} + \frac{1}{1 - \frac{1}{1 - \frac{1}{a} + 2a}}$

$1 + a - 2a + \frac{1}{1 - \frac{1}{\frac{a^2 - 1 + 2a^2}{a}}}$

$1 - a + \frac{1}{1 - \frac{a}{3a^2 - 1}}$

$1 - a + \frac{1}{\frac{3a^2 - 1 - a}{3a^2 - 1}}$

$1 - a + \frac{3a^2 - 1}{3a^2 - a - 1}$

$\frac{(1-a)(3a^2 - a - 1) + 3a^2 - 1}{3a^2 - a - 1}$

$\frac{3a^2 - a - 1 - 3a^3 + a^2 + a + 3a^2 - 1}{3a^2 - a - 1}$

$\frac{-3a^3 + 7a^2 - 2}{3a^2 - a - 1}$

$a = \sqrt{\frac{x}{y}}$ を代入します。

$\frac{-3(\sqrt{\frac{x}{y}})^3 + 7(\sqrt{\frac{x}{y}})^2 - 2}{3(\sqrt{\frac{x}{y}})^2 - \sqrt{\frac{x}{y}} - 1}$

$\frac{-3(\frac{x}{y})\sqrt{\frac{x}{y}} + 7(\frac{x}{y}) - 2}{3(\frac{x}{y}) - \sqrt{\frac{x}{y}} - 1}$

上の式に $a=\sqrt{\frac{x}{y}}$ を代入すると、

$\frac{-3a^3+7a^2-2}{3a^2-a-1}$

分子を因数分解すると、

$-3a^3+7a^2-2 = (a-1)(7-3a-3a^2) = (3a+2)(1-a+3)$

次に分母を因数分解すると、

$3a^2-a-1$

$a=1$の場合、$3a^2-a-1=3(1)^2-1-1=3-1-1=1$

$-3+7-2=2$

$x=y$のとき$1 + 1 - 2 + \frac{1}{1 - \frac{1}{1 - 1 + 2}} = 0+\frac{1}{1-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}}=2$

もし与えられた式が、

$1 + \sqrt{\frac{x}{y}} - \frac{2}{\sqrt{\frac{y}{x}}} + \frac{1}{1 - \frac{1}{1 - \sqrt{\frac{y}{x}} + \frac{2}{\sqrt{\frac{x}{y}}}} }$でなく、

$1 + \sqrt{\frac{x}{y}} - 2\sqrt{\frac{x}{y}} + \frac{1}{1 - \frac{1}{1 - \sqrt{\frac{y}{x}} + 2\sqrt{\frac{y}{x}}}}$

だった場合、$a = \sqrt{\frac{x}{y}}$とすると、

$1+a-2a + \frac{1}{1 - \frac{1}{1 - \frac{1}{a} + \frac{2}{a}}} = 1-a + \frac{1}{1 - \frac{1}{\frac{a+1}{a}}}$

$= 1-a + \frac{1}{1 - \frac{a}{a+1}} = 1-a + \frac{1}{\frac{1}{a+1}} = 1-a + a+1 = 2$

3. 最終的な答え

与えられた数式を簡略化すると、$2$になる。