与えられた絶対値を含む方程式 $ |2x-2|+1 = |3-x| $ を解く。

1. 問題の内容

与えられた絶対値を含む方程式 $|2x-2|+1 = |3-x|$ を解く。

2. 解き方の手順

絶対値記号を外すために場合分けを行う。

(1) $2x-2 \geq 0$ かつ $3-x \geq 0$ のとき、つまり $x \geq 1$ かつ $x \leq 3$ のとき、$1 \leq x \leq 3$ である。

このとき、$(2x-2) + 1 = (3-x)$ となる。

これを解くと $2x - 1 = 3 - x$ より $3x = 4$ となり、$x = \frac{4}{3}$。

$1 \leq x \leq 3$ の条件を満たすので、$x = \frac{4}{3}$ は解である。

(2) $2x-2 \geq 0$ かつ $3-x < 0$ のとき、つまり $x \geq 1$ かつ $x > 3$ のとき、$x > 3$ である。

このとき、$(2x-2) + 1 = -(3-x)$ となる。

これを解くと $2x - 1 = -3 + x$ より $x = -2$。

$x > 3$ の条件を満たさないので、この場合は解なし。

(3) $2x-2 < 0$ かつ $3-x \geq 0$ のとき、つまり $x < 1$ かつ $x \leq 3$ のとき、$x < 1$ である。

このとき、$-(2x-2) + 1 = (3-x)$ となる。

これを解くと $-2x + 2 + 1 = 3 - x$ より $-2x + 3 = 3 - x$ となり、$x = 0$。

$x < 1$ の条件を満たすので、$x = 0$ は解である。

(4) $2x-2 < 0$ かつ $3-x < 0$ のとき、つまり $x < 1$ かつ $x > 3$ のとき、これはありえない。

したがって、解は $x = \frac{4}{3}$ と $x = 0$ である。

3. 最終的な答え

$x = 0, \frac{4}{3}$