関数 $y = ax + b$ において、 $-1 \le x \le 5$ のとき、$1 \le y \le 13$ となるような定数 $a, b$ の値を求めよ。ただし、$a < 0$ とする。

1. 問題の内容

関数 $y = ax + b$ において、 $-1 \le x \le 5$ のとき、$1 \le y \le 13$ となるような定数 $a, b$ の値を求めよ。ただし、$a < 0$ とする。

2. 解き方の手順

$a < 0$ であるから、$y = ax + b$ は減少関数である。

したがって、$x = -1$ のとき $y$ は最大値 $13$ をとり、$x = 5$ のとき $y$ は最小値 $1$ をとる。

これらの条件から、$a$ と $b$ の連立方程式を立てて解く。

$x = -1$ のとき $y = 13$ より、

$13 = a(-1) + b$

$13 = -a + b$

$x = 5$ のとき $y = 1$ より、

$1 = a(5) + b$

$1 = 5a + b$

上記の2式からなる連立方程式を解く。

まず、$b$ を消去するために、1つ目の式から2つ目の式を引く。

$13 - 1 = (-a + b) - (5a + b)$

$12 = -6a$

$a = -2$

次に、$a = -2$ を $13 = -a + b$ に代入して、$b$ を求める。

$13 = -(-2) + b$

$13 = 2 + b$

$b = 11$

したがって、$a = -2$ および $b = 11$ である。

3. 最終的な答え

$a = -2$

$b = 11$