数列 $2, 3, 5, 9, 17, \dots$ の一般項を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $2, 3, 5, 9, 17, \dots$ の一般項を求める問題です。

2. 解き方の手順

この数列の階差数列を考えます。

階差数列は $3-2 = 1, 5-3 = 2, 9-5 = 4, 17-9 = 8, \dots$ となります。

この階差数列は $1, 2, 4, 8, \dots$ となり、これは初項1、公比2の等比数列です。

したがって、階差数列の一般項は $2^{n-1}$ と表せます。

元の数列の一般項を $a_n$ とすると、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1}$

$a_1 = 2$ であるから、

$a_n = 2 + \sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1}$

$\sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1}$ は初項1、公比2、項数 $n-1$ の等比数列の和であるから、

$\sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1} = \frac{1(2^{n-1}-1)}{2-1} = 2^{n-1} - 1$

したがって、

$a_n = 2 + (2^{n-1} - 1) = 2^{n-1} + 1$

3. 最終的な答え

$a_n = 2^{n-1} + 1$