(6) 複素数 $z_1 = 1 + 2i$ に対して、$2z_1$ を計算する。 (7) 複素数 $z_1 = 1 + 2i$ と $z_2 = \sqrt{2} + \sqrt{2}i$ が与えられたとき、$\frac{z_1}{z_2}$ を計算する。

1. 問題の内容

(6) 複素数 $z_1 = 1 + 2i$ に対して、$2z_1$ を計算する。

(7) 複素数 $z_1 = 1 + 2i$ と $z_2 = \sqrt{2} + \sqrt{2}i$ が与えられたとき、$\frac{z_1}{z_2}$ を計算する。

2. 解き方の手順

(6) $z_1 = 1 + 2i$ のとき、$2z_1$ は次のようになる。

$2z_1 = 2(1 + 2i) = 2 + 4i$

(7) $\frac{z_1}{z_2}$ を計算するために、分母の複素共役を分子と分母にかける。

$z_1 = 1 + 2i$

$z_2 = \sqrt{2} + \sqrt{2}i$

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{1 + 2i}{\sqrt{2} + \sqrt{2}i}$

分母の複素共役は $\sqrt{2} - \sqrt{2}i$ なので、分子と分母にこれをかける。

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{(1 + 2i)(\sqrt{2} - \sqrt{2}i)}{(\sqrt{2} + \sqrt{2}i)(\sqrt{2} - \sqrt{2}i)}$

分子を展開すると:

$(1 + 2i)(\sqrt{2} - \sqrt{2}i) = \sqrt{2} - \sqrt{2}i + 2\sqrt{2}i - 2\sqrt{2}i^2 = \sqrt{2} + \sqrt{2}i + 2\sqrt{2} = 3\sqrt{2} + \sqrt{2}i$

分母を展開すると:

$(\sqrt{2} + \sqrt{2}i)(\sqrt{2} - \sqrt{2}i) = (\sqrt{2})^2 - (\sqrt{2}i)^2 = 2 - 2i^2 = 2 - 2(-1) = 2 + 2 = 4$

よって、

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{2}i}{4} = \frac{3\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}i$

3. 最終的な答え

(6) $2z_1 = 2 + 4i$

(7) $\frac{z_1}{z_2} = \frac{3\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}i$