複素数 $z_1 = \sqrt{3} + i$ と $z_2 = \sqrt{2} + \sqrt{2}i$ が与えられています。 (1) $\overline{z_1}$ (2) $z_1 z_2$ (3) $\frac{z_1}{z_2}$ をそれぞれ極形式で表す問題です。問題文中に、$z_1 = 2e^{i\frac{\pi}{6}}$, $z_2 = 2e^{i\frac{\pi}{4}}$ と極形式に変換されている箇所があります。

1. 問題の内容

複素数 $z_1 = \sqrt{3} + i$ と $z_2 = \sqrt{2} + \sqrt{2}i$ が与えられています。

(1) $\overline{z_1}$

(2) $z_1 z_2$

(3) $\frac{z_1}{z_2}$

をそれぞれ極形式で表す問題です。問題文中に、$z_1 = 2e^{i\frac{\pi}{6}}$, $z_2 = 2e^{i\frac{\pi}{4}}$ と極形式に変換されている箇所があります。

2. 解き方の手順

(1) 共役複素数 $\overline{z_1}$ の極形式を求める。

複素数 $z = re^{i\theta}$ の共役複素数は $\overline{z} = re^{-i\theta}$ となることを利用する。

$\overline{z_1} = 2e^{-i\frac{\pi}{6}}$

(2) $z_1 z_2$ の極形式を求める。

複素数 $z_1 = r_1e^{i\theta_1}$ と $z_2 = r_2e^{i\theta_2}$ の積は $z_1 z_2 = r_1 r_2 e^{i(\theta_1 + \theta_2)}$ となることを利用する。

$z_1 z_2 = (2e^{i\frac{\pi}{6}})(2e^{i\frac{\pi}{4}}) = 4e^{i(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4})} = 4e^{i(\frac{2\pi + 3\pi}{12})} = 4e^{i\frac{5\pi}{12}}$

(3) $\frac{z_1}{z_2}$ の極形式を求める。

複素数 $z_1 = r_1e^{i\theta_1}$ と $z_2 = r_2e^{i\theta_2}$ の商は $\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} e^{i(\theta_1 - \theta_2)}$ となることを利用する。

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{2e^{i\frac{\pi}{6}}}{2e^{i\frac{\pi}{4}}} = e^{i(\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4})} = e^{i(\frac{2\pi - 3\pi}{12})} = e^{-i\frac{\pi}{12}}$

3. 最終的な答え

(1) $\overline{z_1} = 2e^{-i\frac{\pi}{6}}$

(2) $z_1 z_2 = 4e^{i\frac{5\pi}{12}}$

(3) $\frac{z_1}{z_2} = e^{-i\frac{\pi}{12}}$