$A$ と $B$ を $n$ 次正方行列とする。以下の行列方程式を満たす $2n$ 次正方行列 $X$ のうち、$E_n$ を用いて表されるものを1つ見つける問題である。 $\begin{pmatrix} E_n & O \\ E_n & E_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A & B \\ B & A \end{pmatrix} X = \begin{pmatrix} A-B & B \\ O & A+B \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

$A$ と $B$ を $n$ 次正方行列とする。以下の行列方程式を満たす $2n$ 次正方行列 $X$ のうち、$E_n$ を用いて表されるものを1つ見つける問題である。

$\begin{pmatrix} E_n & O \\ E_n & E_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A & B \\ B & A \end{pmatrix} X = \begin{pmatrix} A-B & B \\ O & A+B \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

まず、与えられた行列方程式を整理する。

$\begin{pmatrix} E_n & O \\ E_n & E_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A & B \\ B & A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A & B \\ A+B & A+B \end{pmatrix}$

したがって、与えられた方程式は

$\begin{pmatrix} A & B \\ A+B & A+B \end{pmatrix} X = \begin{pmatrix} A-B & B \\ O & A+B \end{pmatrix}$

となる。ここで、$X$ を

$X = \begin{pmatrix} P & Q \\ R & S \end{pmatrix}$

とおき、ここで $P, Q, R, S$ は $n$ 次正方行列である。

すると、

$\begin{pmatrix} A & B \\ A+B & A+B \end{pmatrix} \begin{pmatrix} P & Q \\ R & S \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} AP+BR & AQ+BS \\ (A+B)P+(A+B)R & (A+B)Q+(A+B)S \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A-B & B \\ O & A+B \end{pmatrix}$

これより、以下の方程式が得られる。

$AP + BR = A - B$

$AQ + BS = B$

$(A+B)P + (A+B)R = 0$

$(A+B)Q + (A+B)S = A+B$

3番目の式より、$(A+B)(P+R) = 0$ となる。$P+R = O$ と仮定すると、$R = -P$ である。

4番目の式より、$(A+B)(Q+S) = A+B$ となる。$Q+S = E_n$ と仮定すると、$S = E_n - Q$ である。

すると、最初の式は $AP - BP = A - B$ となり、$P = E_n$ となる。

2番目の式は $AQ + B(E_n - Q) = B$ となり、$AQ + B - BQ = B$ から、$AQ - BQ = O$ となる。

$A$ と $B$ が交換可能であるならば、$Q = O$ となる。$A, B$ について何も制約がないので、$A$ と $B$ が交換可能であるとは限らない。

$X = \begin{pmatrix} E_n & O \\ -E_n & E_n \end{pmatrix}$ と仮定する。すると、

$\begin{pmatrix} A & B \\ A+B & A+B \end{pmatrix} \begin{pmatrix} E_n & O \\ -E_n & E_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A-B & B \\ A+B-(A+B) & A+B \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A-B & B \\ O & A+B \end{pmatrix}$

したがって、$X = \begin{pmatrix} E_n & O \\ -E_n & E_n \end{pmatrix}$ が解の一つである。

3. 最終的な答え

$X = \begin{pmatrix} E_n & O \\ -E_n & E_n \end{pmatrix}$