$A$ と $B$ を $m \times n$ 行列とするとき、行列の積 $(E_m \ E_m) \begin{pmatrix} A & O_{mn} \\ O_{mn} & B \end{pmatrix} \begin{pmatrix} E_n \\ E_n \end{pmatrix}$ を計算せよ。ここで、$E_m$ は $m$ 次の単位行列、$E_n$ は $n$ 次の単位行列、$O_{mn}$ は $m \times n$ の零行列を表す。

1. 問題の内容

$A$ と $B$ を $m \times n$ 行列とするとき、行列の積 $(E_m \ E_m) \begin{pmatrix} A & O_{mn} \\ O_{mn} & B \end{pmatrix} \begin{pmatrix} E_n \\ E_n \end{pmatrix}$ を計算せよ。ここで、$E_m$ は $m$ 次の単位行列、$E_n$ は $n$ 次の単位行列、$O_{mn}$ は $m \times n$ の零行列を表す。

2. 解き方の手順

まず、$\begin{pmatrix} A & O_{mn} \\ O_{mn} & B \end{pmatrix} \begin{pmatrix} E_n \\ E_n \end{pmatrix}$ を計算する。

$$\begin{pmatrix} A & O_{mn} \\ O_{mn} & B \end{pmatrix} \begin{pmatrix} E_n \\ E_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} AE_n + O_{mn}E_n \\ O_{mn}E_n + BE_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A \\ B \end{pmatrix}$$

次に、$(E_m \ E_m) \begin{pmatrix} A \\ B \end{pmatrix}$ を計算する。

$$(E_m \ E_m) \begin{pmatrix} A \\ B \end{pmatrix} = E_mA + E_mB = A + B$$

3. 最終的な答え

$A+B$