与えられた行列 $A$ による線形変換によって、直線 $L$ がどのような直線に移されるかを求める問題です。具体的には、以下の2つの場合について考えます。 (1) $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 3 & -4 \end{pmatrix}$, $L: x + 3y = 0$ (2) $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$, $L: 2x - y + 3 = 0$

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$ による線形変換によって、直線 $L$ がどのような直線に移されるかを求める問題です。具体的には、以下の2つの場合について考えます。

(1) $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 3 & -4 \end{pmatrix}$, $L: x + 3y = 0$

(2) $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$, $L: 2x - y + 3 = 0$

2. 解き方の手順

(1) $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 3 & -4 \end{pmatrix}$, $L: x + 3y = 0$ の場合

(i) 変換前の点を $(x, y)$、変換後の点を $(x', y')$ とします。このとき、

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 3 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

より、

$x' = 2x$

$y' = 3x - 4y$

となります。

(ii) $x = \frac{x'}{2}$ を $y' = 3x - 4y$ に代入すると、$y' = \frac{3}{2} x' - 4y$ となり、$4y = \frac{3}{2} x' - y'$ です。したがって、$y = \frac{3}{8} x' - \frac{1}{4} y'$ となります。

(iii) これらの式を直線 $L: x + 3y = 0$ に代入します。

$\frac{x'}{2} + 3(\frac{3}{8} x' - \frac{1}{4} y') = 0$

$\frac{x'}{2} + \frac{9}{8} x' - \frac{3}{4} y' = 0$

$4x' + 9x' - 6y' = 0$

$13x' - 6y' = 0$

したがって、$13x - 6y = 0$

(2) $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$, $L: 2x - y + 3 = 0$ の場合

(i) 変換前の点を $(x, y)$、変換後の点を $(x', y')$ とすると、

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

より、

$x' = 2x - y$

$y' = x + 2y$

(ii) これらの式から $x$ と $y$ を $x'$ と $y'$ で表します。まず、2つの式を連立方程式として解きます。

$x' = 2x - y$

$y' = x + 2y$

上の式を2倍すると、$2x' = 4x - 2y$ となり、下の式と足し合わせると、

$2x' + y' = 5x$

$x = \frac{2x' + y'}{5}$

下の式を2倍すると、$2y' = 2x + 4y$ となり、上の式から引くと、

$x' - 2y' = -5y$

$y = \frac{-x' + 2y'}{5}$

(iii) これらの式を直線 $L: 2x - y + 3 = 0$ に代入します。

$2(\frac{2x' + y'}{5}) - (\frac{-x' + 2y'}{5}) + 3 = 0$

$4x' + 2y' + x' - 2y' + 15 = 0$

$5x' + 15 = 0$

$5x + 15 = 0$

$x = -3$

3. 最終的な答え

(1) $13x - 6y = 0$

(2) $x = -3$