与えられた対数に関する式を整理する問題です。具体的には、以下の4つの問題を解きます。 (1) $\log_2 16$ (2) $\log_7 1$ (3) $\log_{\sqrt{2}} 8$ (4) $\log_2 24 + \log_2 \frac{8}{3}$

1. 問題の内容

与えられた対数に関する式を整理する問題です。具体的には、以下の4つの問題を解きます。

(1) $\log_2 16$

(2) $\log_7 1$

(3) $\log_{\sqrt{2}} 8$

(4) $\log_2 24 + \log_2 \frac{8}{3}$

2. 解き方の手順

(1) $\log_2 16$

$16$を$2$の累乗で表すと、$16 = 2^4$となります。したがって、

$\log_2 16 = \log_2 2^4 = 4$

(2) $\log_7 1$

任意の底$a$において、$\log_a 1 = 0$です。したがって、

$\log_7 1 = 0$

(3) $\log_{\sqrt{2}} 8$

$\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$、$8 = 2^3$なので、

$\log_{\sqrt{2}} 8 = \log_{2^{\frac{1}{2}}} 2^3 = \frac{3}{\frac{1}{2}} \log_2 2 = 6 \log_2 2 = 6 \times 1 = 6$

もしくは、$\log_{a^b} c^d = \frac{d}{b}\log_a c$の公式を使うと、

$\log_{\sqrt{2}} 8 = \log_{2^{1/2}} 2^3 = \frac{3}{1/2} \log_2 2 = 6$

(4) $\log_2 24 + \log_2 \frac{8}{3}$

対数の和の公式$\log_a x + \log_a y = \log_a (xy)$を使うと、

$\log_2 24 + \log_2 \frac{8}{3} = \log_2 \left(24 \times \frac{8}{3}\right) = \log_2 \left(8 \times 8\right) = \log_2 64$

$64 = 2^6$なので、

$\log_2 64 = \log_2 2^6 = 6$

3. 最終的な答え

(1) $\log_2 16 = 4$

(2) $\log_7 1 = 0$

(3) $\log_{\sqrt{2}} 8 = 6$

(4) $\log_2 24 + \log_2 \frac{8}{3} = 6$