与えられた4つの行列の行列式を計算します。

はい、承知いたしました。行列式の問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた4つの行列の行列式を計算します。

2. 解き方の手順

(1)

行列 $A$ は

$A = \begin{vmatrix} a & 0 & b & 0 \\ 0 & c & 0 & d \\ e & 0 & f & 0 \\ 0 & g & 0 & h \end{vmatrix}$

第2列で展開すると

$|A| = c \begin{vmatrix} a & b & 0 \\ e & f & 0 \\ 0 & 0 & h \end{vmatrix} - g \begin{vmatrix} a & b & 0 \\ 0 & d & 0 \\ e & f & 0 \end{vmatrix} = c h \begin{vmatrix} a & b \\ e & f \end{vmatrix} - g \cdot 0 = ch(af - be)$

$|A| = ch(af-be)$

(2)

行列 $A$ は

$A = \begin{vmatrix} 1 & a & 0 & b \\ a & 0 & b & 0 \\ 0 & b & 0 & c \\ b & 0 & c & 1 \end{vmatrix}$

第1列で展開すると

$|A| = 1 \begin{vmatrix} 0 & b & 0 \\ b & 0 & c \\ 0 & c & 1 \end{vmatrix} - a \begin{vmatrix} a & b & 0 \\ b & 0 & c \\ b & c & 1 \end{vmatrix} + 0 - b \begin{vmatrix} a & 0 & b \\ b & b & 0 \\ 0 & 0 & c \end{vmatrix}$

$|A| = 1(-b(b-0)) - a(a(0-c^2) - b(b-bc)) - b(c(ab-b^2)) = -b^2 - a(-ac^2 -b^2+b^2c) -b(abc-b^2c) = -b^2 + a^2c^2 + ab^2 - ab^2c - ab^2c + b^3c = -b^2 + a^2c^2 + ab^2 - 2ab^2c + b^3c$

$\begin{vmatrix} 0 & b & 0 \\ b & 0 & c \\ 0 & c & 1 \end{vmatrix} = 0 - b(b-0) + 0 = -b^2$

$\begin{vmatrix} a & b & 0 \\ b & 0 & c \\ b & c & 1 \end{vmatrix} = a(0-c^2) - b(b-bc) + 0 = -ac^2 -b^2 + b^2c$

$\begin{vmatrix} a & 0 & b \\ b & b & 0 \\ 0 & 0 & c \end{vmatrix} = c(ab-0) = abc$

$|A| = -b^2 -a(-ac^2-b^2+b^2c) -b(abc) = -b^2 + a^2c^2 + ab^2 - ab^2c - ab^2c = -b^2 + a^2c^2 + ab^2 -2ab^2c$

$|A| = a^2c^2 - b^2 - 2ab^2c + ab^2$

(3)

行列 $A$ は

$A = \begin{vmatrix} a & 0 & b & c \\ 0 & d & 0 & 0 \\ e & f & 0 & g \\ 0 & h & i & 0 \end{vmatrix}$

第2行で展開すると

$|A| = -d \begin{vmatrix} a & b & c \\ e & 0 & g \\ 0 & i & 0 \end{vmatrix} = -d(-b(-ei) + i(ag-ec)) = d(bei) - dih(ag-ec)$

$|A| = -d(a(0 - ig) -b(e0) + c(ei-0)) = -d(-aig + cei)$

$|A| = d(agi - cei)$

(4)

行列 $A$ は

$A = \begin{vmatrix} 0 & a & b & 0 \\ d & e & 0 & 0 \\ 0 & f & g & h \\ i & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}$

第4行で展開すると

$|A| = -i \begin{vmatrix} a & b & 0 \\ e & 0 & 0 \\ f & g & h \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 0 & a & b \\ d & e & 0 \\ 0 & f & g \end{vmatrix} = -i(-e(bh)) + (0 - d(ag-bf)) -h = iebh - adg+bdf$

$|A| = i(a00 - bh0) = (0-d(ag-bf)) + 1(0)$

$|A| = iebh - dag+dbf$

$|A| = b(ief+d (-ag)) + adf = b(ef-ag)$

3. 最終的な答え

(1) $ch(af-be)$

(2) $a^2c^2 - b^2 - 2ab^2c + ab^2$

(3) $d(agi-cei)$

(4) $iebh-dag+bdf$