方程式 $|x-2|-|x+2|=-x$ を解く。

1. 問題の内容

方程式 $|x-2|-|x+2|=-x$ を解く。

2. 解き方の手順

絶対値記号を外すために、場合分けを行います。

(i) $x<-2$ のとき、

$|x-2|=-(x-2)=-x+2$

$|x+2|=-(x+2)=-x-2$

となるので、

$(-x+2)-(-x-2)=-x$

$-x+2+x+2=-x$

$4=-x$

$x=-4$

これは $x<-2$ を満たすので、解の一つです。

(ii) $-2 \le x < 2$ のとき、

$|x-2|=-(x-2)=-x+2$

$|x+2|=x+2$

となるので、

$(-x+2)-(x+2)=-x$

$-x+2-x-2=-x$

$-2x=-x$

$-x=0$

$x=0$

これは $-2 \le x < 2$ を満たすので、解の一つです。

(iii) $x \ge 2$ のとき、

$|x-2|=x-2$

$|x+2|=x+2$

となるので、

$(x-2)-(x+2)=-x$

$x-2-x-2=-x$

$-4=-x$

$x=4$

これは $x \ge 2$ を満たすので、解の一つです。

3. 最終的な答え

$x=-4, 0, 4$