与えられた数列の和 $S_n$ を計算し、簡略化する問題です。まず、公比 $r$ が与えられており、$r = \frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \sqrt{2} + 1$ と計算されています。そして、数列の和 $S_n$ が $S_n = \frac{(\sqrt{2} - 1)((\sqrt{2} + 1)^n - 1)}{(\sqrt{2} + 1) - 1} = \frac{(\sqrt{2} + 1)^{n-1} - \sqrt{2} + 1}{\sqrt{2}}$ と表されています。この式が正しいか確認し、可能であればさらに簡略化します。

1. 問題の内容

与えられた数列の和 $S_n$ を計算し、簡略化する問題です。まず、公比 $r$ が与えられており、$r = \frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \sqrt{2} + 1$ と計算されています。そして、数列の和 $S_n$ が $S_n = \frac{(\sqrt{2} - 1)((\sqrt{2} + 1)^n - 1)}{(\sqrt{2} + 1) - 1} = \frac{(\sqrt{2} + 1)^{n-1} - \sqrt{2} + 1}{\sqrt{2}}$ と表されています。この式が正しいか確認し、可能であればさらに簡略化します。

2. 解き方の手順

ステップ1: 与えられた $S_n$ の式を整理します。

$S_n = \frac{(\sqrt{2} - 1)((\sqrt{2} + 1)^n - 1)}{(\sqrt{2} + 1) - 1}$

ステップ2: 分母を簡略化します。

$(\sqrt{2} + 1) - 1 = \sqrt{2}$

したがって、

$S_n = \frac{(\sqrt{2} - 1)((\sqrt{2} + 1)^n - 1)}{\sqrt{2}}$

ステップ3: 与えられた別の表現 $S_n = \frac{(\sqrt{2} + 1)^{n-1} - \sqrt{2} + 1}{\sqrt{2}}$ と比較します。

$(\sqrt{2} - 1)((\sqrt{2} + 1)^n - 1) = (\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)^n - (\sqrt{2} - 1)$

$(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1) = 2 - 1 = 1$ であるから $\sqrt{2}-1 = \frac{1}{\sqrt{2}+1}$ が成り立ちます。

すると

$(\sqrt{2} - 1)((\sqrt{2} + 1)^n - 1) = \frac{(\sqrt{2} + 1)^n}{\sqrt{2}+1} - \frac{1}{\sqrt{2}+1} = (\sqrt{2} + 1)^{n-1} - (\sqrt{2} - 1)$

ゆえに

$S_n = \frac{(\sqrt{2} + 1)^{n-1} - (\sqrt{2} - 1)}{\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{2} + 1)^{n-1} - \sqrt{2} + 1}{\sqrt{2}}$

与えられた $S_n = \frac{(\sqrt{2} + 1)^{n-1} - \sqrt{2} + 1}{\sqrt{2}}$ という結果と一致します。

したがって、画像に書かれた式は正しいです。

3. 最終的な答え

$S_n = \frac{(\sqrt{2} + 1)^{n-1} - \sqrt{2} + 1}{\sqrt{2}}$