複素数 $z_1$ と $z_2$ が与えられているとき、以下の複素数を極形式で表現する問題です。 (1) $\overline{z_1}$ ( $z_1$ の共役複素数) (2) $z_1 z_2$ ( $z_1$ と $z_2$ の積) (3) $\frac{z_1}{z_2}$ ( $z_1$ を $z_2$ で割った商) ただし、$z_1$ と $z_2$ の具体的な値は与えられていないので、一般的に極形式で表します。

1. 問題の内容

複素数 $z_1$ と $z_2$ が与えられているとき、以下の複素数を極形式で表現する問題です。

(1) $\overline{z_1}$ ( $z_1$ の共役複素数)

(2) $z_1 z_2$ ( $z_1$ と $z_2$ の積)

(3) $\frac{z_1}{z_2}$ ( $z_1$ を $z_2$ で割った商)

ただし、$z_1$ と $z_2$ の具体的な値は与えられていないので、一般的に極形式で表します。

2. 解き方の手順

まず、複素数 $z_1$ と $z_2$ を極形式で表します。

$z_1 = r_1 (\cos \theta_1 + i \sin \theta_1)$

$z_2 = r_2 (\cos \theta_2 + i \sin \theta_2)$

ここで、$r_1, r_2$ はそれぞれの絶対値、$\theta_1, \theta_2$ はそれぞれの偏角です。

(1) $z_1$ の共役複素数 $\overline{z_1}$ は、実部はそのままで、虚部の符号を反転させたものです。したがって、極形式では、偏角の符号を反転させたものになります。

$\overline{z_1} = r_1(\cos(-\theta_1) + i \sin(-\theta_1)) = r_1 (\cos \theta_1 - i \sin \theta_1)$

(2) $z_1$ と $z_2$ の積 $z_1 z_2$ は、それぞれの絶対値の積と、偏角の和で表されます。

$z_1 z_2 = r_1 r_2 (\cos(\theta_1 + \theta_2) + i \sin(\theta_1 + \theta_2))$

(3) $z_1$ を $z_2$ で割った商 $\frac{z_1}{z_2}$ は、それぞれの絶対値の商と、偏角の差で表されます。

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} (\cos(\theta_1 - \theta_2) + i \sin(\theta_1 - \theta_2))$

3. 最終的な答え

(1) $\overline{z_1} = r_1 (\cos (-\theta_1) + i \sin (-\theta_1))$ または $\overline{z_1} = r_1(\cos \theta_1 - i \sin \theta_1)$

(2) $z_1 z_2 = r_1 r_2 (\cos(\theta_1 + \theta_2) + i \sin(\theta_1 + \theta_2))$

(3) $\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} (\cos(\theta_1 - \theta_2) + i \sin(\theta_1 - \theta_2))$