$a$ を正の数とする。2次方程式 $x^2 - ax + 1 = 0$ が $p - q = 1$ を満たす実数解 $p$ と $q$ をもつとき、$a$ と $p$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ を正の数とする。2次方程式 $x^2 - ax + 1 = 0$ が $p - q = 1$ を満たす実数解 $p$ と $q$ をもつとき、$a$ と $p$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

2次方程式 $x^2 - ax + 1 = 0$ の2つの実数解を $p$ と $q$ とする。

解と係数の関係より、

$p + q = a$

$pq = 1$

また、$p - q = 1$ が与えられている。

$p + q = a$ と $p - q = 1$ より、

$2p = a + 1$

$p = \frac{a+1}{2}$

$q = p - 1 = \frac{a+1}{2} - 1 = \frac{a-1}{2}$

$pq = 1$ に代入すると、

$\frac{a+1}{2} \cdot \frac{a-1}{2} = 1$

$\frac{a^2 - 1}{4} = 1$

$a^2 - 1 = 4$

$a^2 = 5$

$a = \pm \sqrt{5}$

$a$ は正の数なので、$a = \sqrt{5}$

$p = \frac{a+1}{2} = \frac{\sqrt{5}+1}{2}$

3. 最終的な答え

$a = \sqrt{5}$

$p = \frac{\sqrt{5}+1}{2}$