与えられた数列の和 $\sum_{k=1}^{n} (k^2 - 2k)$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

与えられた数列の和 $\sum_{k=1}^{n} (k^2 - 2k)$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、和を分解します。

$\sum_{k=1}^{n} (k^2 - 2k) = \sum_{k=1}^{n} k^2 - 2 \sum_{k=1}^{n} k$

次に、それぞれの和を公式を用いて計算します。

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{1}{2}n(n+1)$

これらの結果を元の式に代入すると、

$\sum_{k=1}^{n} (k^2 - 2k) = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) - 2 \cdot \frac{1}{2}n(n+1)$

$= \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) - n(n+1)$

共通因数 $n(n+1)$ でくくると、

$= n(n+1) \left( \frac{1}{6}(2n+1) - 1 \right)$

$= n(n+1) \left( \frac{2n+1-6}{6} \right)$

$= n(n+1) \left( \frac{2n-5}{6} \right)$

$= \frac{n(n+1)(2n-5)}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n+1)(2n-5)}{6}$