方程式 $x^2 + y^2 + ax - (a+3)y + \frac{5}{2}a^2 = 0$ が円を表すとき、以下の問いに答える。 (1) 定数 $a$ の値の範囲を求めよ。 (2) この円の半径が最大になるとき、その大きさと定数 $a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

方程式 $x^2 + y^2 + ax - (a+3)y + \frac{5}{2}a^2 = 0$ が円を表すとき、以下の問いに答える。

(1) 定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

(2) この円の半径が最大になるとき、その大きさと定数 $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 与えられた方程式を円の方程式の標準形に変形する。

$x^2 + ax + y^2 - (a+3)y + \frac{5}{2}a^2 = 0$

$(x + \frac{a}{2})^2 - (\frac{a}{2})^2 + (y - \frac{a+3}{2})^2 - (\frac{a+3}{2})^2 + \frac{5}{2}a^2 = 0$

$(x + \frac{a}{2})^2 + (y - \frac{a+3}{2})^2 = (\frac{a}{2})^2 + (\frac{a+3}{2})^2 - \frac{5}{2}a^2$

$(x + \frac{a}{2})^2 + (y - \frac{a+3}{2})^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{a^2 + 6a + 9}{4} - \frac{10a^2}{4}$

$(x + \frac{a}{2})^2 + (y - \frac{a+3}{2})^2 = \frac{-8a^2 + 6a + 9}{4}$

この方程式が円を表すためには、右辺が正である必要がある。

$\frac{-8a^2 + 6a + 9}{4} > 0$

$-8a^2 + 6a + 9 > 0$

$8a^2 - 6a - 9 < 0$

$(4a + 3)(2a - 3) < 0$

$-\frac{3}{4} < a < \frac{3}{2}$

(2) 円の半径 $r$ は、

$r^2 = \frac{-8a^2 + 6a + 9}{4}$

$r = \frac{\sqrt{-8a^2 + 6a + 9}}{2}$

$r$ が最大になるのは、$r^2$ が最大になるときである。

$f(a) = -8a^2 + 6a + 9$ とおくと、これは上に凸な2次関数である。

軸は $a = -\frac{6}{2(-8)} = \frac{3}{8}$ である。

$-\frac{3}{4} < a < \frac{3}{2}$ の範囲内で $a = \frac{3}{8}$ は条件を満たす。

$a = \frac{3}{8}$ のとき、

$f(\frac{3}{8}) = -8(\frac{3}{8})^2 + 6(\frac{3}{8}) + 9 = -8(\frac{9}{64}) + \frac{18}{8} + 9 = -\frac{9}{8} + \frac{18}{8} + \frac{72}{8} = \frac{81}{8}$

$r^2 = \frac{81}{32}$

$r = \sqrt{\frac{81}{32}} = \frac{9}{4\sqrt{2}} = \frac{9\sqrt{2}}{8}$

3. 最終的な答え

(1) $-\frac{3}{4} < a < \frac{3}{2}$

(2) $a = \frac{3}{8}$ のとき、半径は $\frac{9\sqrt{2}}{8}$ で最大になる。