与えられた4つの方程式を解く問題です。 (1) $x^3 = 1$ (2) $x^4 - 4x^2 + 3 = 0$ (3) $x^3 + x^2 - 7x + 2 = 0$ (4) $2x^4 - 3x^3 + 2x^2 - 1 = 0$

1. 問題の内容

与えられた4つの方程式を解く問題です。

(1) $x^3 = 1$

(2) $x^4 - 4x^2 + 3 = 0$

(3) $x^3 + x^2 - 7x + 2 = 0$

(4) $2x^4 - 3x^3 + 2x^2 - 1 = 0$

2. 解き方の手順

(1) $x^3 = 1$

$x^3 - 1 = 0$

$(x-1)(x^2 + x + 1) = 0$

$x = 1$ または $x^2 + x + 1 = 0$

$x^2 + x + 1 = 0$ の解は、解の公式より

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$

(2) $x^4 - 4x^2 + 3 = 0$

$y = x^2$ と置くと、$y^2 - 4y + 3 = 0$

$(y-1)(y-3) = 0$

$y = 1, 3$

$x^2 = 1$ より $x = \pm 1$

$x^2 = 3$ より $x = \pm \sqrt{3}$

(3) $x^3 + x^2 - 7x + 2 = 0$

$P(x) = x^3 + x^2 - 7x + 2$ とおく。

$P(2) = 2^3 + 2^2 - 7(2) + 2 = 8 + 4 - 14 + 2 = 0$

したがって、$x-2$ は $P(x)$ の因数である。

筆算または組立除法により、$x^3 + x^2 - 7x + 2 = (x-2)(x^2 + 3x - 1)$

$(x-2)(x^2 + 3x - 1) = 0$

$x = 2$ または $x^2 + 3x - 1 = 0$

$x^2 + 3x - 1 = 0$ の解は、解の公式より

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 4}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{13}}{2}$

(4) $2x^4 - 3x^3 + 2x^2 - 1 = 0$

$P(x) = 2x^4 - 3x^3 + 2x^2 - 1$ とおく。

$P(1) = 2 - 3 + 2 - 1 = 0$

したがって、$x-1$ は $P(x)$ の因数である。

$2x^4 - 3x^3 + 2x^2 - 1 = (x-1)(2x^3 - x^2 + x + 1)$

$Q(x) = 2x^3 - x^2 + x + 1$ とおく。

$Q(-1/2) = 2(-1/8) - 1/4 - 1/2 + 1 = -1/4 - 1/4 - 1/2 + 1 = 0$

したがって、$x + 1/2$ つまり $2x+1$ は $Q(x)$ の因数である。

$(x-1)(2x+1)(x^2 - x + 1) = 0$

$x = 1, -1/2$ または $x^2 - x + 1 = 0$

$x^2 - x + 1 = 0$ の解は、解の公式より

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $x = 1, \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$

(2) $x = \pm 1, \pm \sqrt{3}$

(3) $x = 2, \frac{-3 \pm \sqrt{13}}{2}$

(4) $x = 1, -\frac{1}{2}, \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2}$