(1) 式 $(a+b-c)(a-b+c)$ を展開する。 (2) 次の式を因数分解する。 (i) $2x^2 - 5xy + 2y^2 + 2x - y$ (ii) $x^4 - x^2y^2 - 12y^4$

1. 問題の内容

(1) 式 $(a+b-c)(a-b+c)$ を展開する。

(2) 次の式を因数分解する。

(i) $2x^2 - 5xy + 2y^2 + 2x - y$

(ii) $x^4 - x^2y^2 - 12y^4$

2. 解き方の手順

(1) 式 $(a+b-c)(a-b+c)$ を展開する。

まず、$A = a$と置くと、

$(A + (b-c))(A - (b-c)) = A^2 - (b-c)^2$

$= a^2 - (b^2 - 2bc + c^2) = a^2 - b^2 + 2bc - c^2$

(2) (i) $2x^2 - 5xy + 2y^2 + 2x - y$を因数分解する。

まず、$2x^2 - 5xy + 2y^2$を因数分解すると、$(2x-y)(x-2y)$となる。

そこで、$2x^2 - 5xy + 2y^2 + 2x - y = (2x-y)(x-2y) + (2x-y) = (2x-y)(x-2y+1)$

(2) (ii) $x^4 - x^2y^2 - 12y^4$を因数分解する。

$x^2 = X$とすると、$X^2 - y^2 X - 12y^4$となる。

これを因数分解すると、$(X - 4y^2)(X + 3y^2) = (x^2 - 4y^2)(x^2 + 3y^2)$となる。

さらに、$x^2 - 4y^2$は$(x-2y)(x+2y)$と因数分解できるので、

$(x-2y)(x+2y)(x^2+3y^2)$

3. 最終的な答え

(1) $a^2 - b^2 + 2bc - c^2$

(2) (i) $(2x-y)(x-2y+1)$

(2) (ii) $(x-2y)(x+2y)(x^2+3y^2)$