関数 $y = -3x^2 - 2x + c$ の $-1 \le x \le 0$ における最小値が1となるように、定数 $c$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = -3x^2 - 2x + c$ の $-1 \le x \le 0$ における最小値が1となるように、定数 $c$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = -3x^2 - 2x + c = -3(x^2 + \frac{2}{3}x) + c = -3(x^2 + \frac{2}{3}x + \frac{1}{9} - \frac{1}{9}) + c = -3(x + \frac{1}{3})^2 + \frac{1}{3} + c$

よって、放物線の頂点の座標は $(-\frac{1}{3}, \frac{1}{3} + c)$ です。

定義域 $-1 \le x \le 0$ の範囲で考えます。

軸 $x = -\frac{1}{3}$ は定義域 $-1 \le x \le 0$ の中にあります。

また、この放物線は上に凸であるため、頂点で最大値をとり、最小値は定義域の端点のどちらかでとります。

$x = -1$ のとき、 $y = -3(-1)^2 - 2(-1) + c = -3 + 2 + c = -1 + c$

$x = 0$ のとき、 $y = -3(0)^2 - 2(0) + c = c$

軸 $x = -\frac{1}{3}$ が定義域内にあるため、

$x = -1$ と $x = 0$ における $y$ の値を比較し、小さい方が最小値となります。

$x = -1$ のとき $y = c - 1$ で、$x = 0$ のとき $y = c$ であるから、$c - 1 < c$ であり、$x = -1$ のとき最小値をとります。

したがって、$-1 + c = 1$ となるので、 $c = 2$ です。

3. 最終的な答え

$c = 2$