与えられた数列 $1, 2, 5, 14, 41, \dots$ の一般項 $a_n$ を階差数列を用いて求める。

1. 問題の内容

与えられた数列 $1, 2, 5, 14, 41, \dots$ の一般項 $a_n$ を階差数列を用いて求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた数列の階差数列を求める。

階差数列 $b_n$ は、

$b_1 = 2 - 1 = 1$

$b_2 = 5 - 2 = 3$

$b_3 = 14 - 5 = 9$

$b_4 = 41 - 14 = 27$

となり、$1, 3, 9, 27, \dots$ である。

これは初項 $1$、公比 $3$ の等比数列なので、その一般項は $b_n = 3^{n-1}$ である。

数列 $a_n$ の一般項は、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$ ($n \geq 2$)

$a_1 = 1$ であるから、

$a_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} 3^{k-1}$

$\sum_{k=1}^{n-1} 3^{k-1}$ は初項 $1$、公比 $3$ の等比数列の和なので、

$\sum_{k=1}^{n-1} 3^{k-1} = \frac{1(3^{n-1} - 1)}{3 - 1} = \frac{3^{n-1} - 1}{2}$

したがって、

$a_n = 1 + \frac{3^{n-1} - 1}{2} = \frac{2 + 3^{n-1} - 1}{2} = \frac{3^{n-1} + 1}{2}$

これは、$n=1$ のとき $a_1 = \frac{3^{1-1} + 1}{2} = \frac{1+1}{2} = 1$ となり、成り立つ。

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{3^{n-1} + 1}{2}$