$x+y=4$、$xy=2$ のとき、$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ の値を求める。

## 問題2

1. 問題の内容

$x+y=4$、$xy=2$ のとき、$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ の値を求める。

2. 解き方の手順

与えられた式 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ を通分すると、

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y} = \frac{x+y}{xy}$$

となる。

$x+y=4$ および $xy=2$ が与えられているので、これらを上記の式に代入する。

$$\frac{x+y}{xy} = \frac{4}{2}$$

$$\frac{4}{2} = 2$$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y} = 2$

## 問題3

1. 問題の内容

$(\sqrt{3}+\sqrt{2}+\sqrt{5})(\sqrt{3}+\sqrt{2}-\sqrt{5})$を計算する。

2. 解き方の手順

$(\sqrt{3}+\sqrt{2}+\sqrt{5})(\sqrt{3}+\sqrt{2}-\sqrt{5})$を展開する。

$\sqrt{3}+\sqrt{2}=A$とおくと

$(A+\sqrt{5})(A-\sqrt{5})=A^2 - (\sqrt{5})^2=A^2 - 5$となる。

$A^2 = (\sqrt{3}+\sqrt{2})^2 = (\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 3 + 2\sqrt{6} + 2 = 5 + 2\sqrt{6}$

よって、$A^2 - 5 = (5 + 2\sqrt{6}) - 5 = 2\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

$2\sqrt{6}$

## 問題4

1. 問題の内容

$x^3y + x^2y - xy^3 - xy^2$を因数分解する。

2. 解き方の手順

$x^3y + x^2y - xy^3 - xy^2$を因数分解する。

共通因数$xy$でくくると

$xy(x^2 + x - y^2 - y)$となる。

$xy[(x^2 - y^2) + (x - y)] = xy[(x+y)(x-y) + (x-y)] = xy(x-y)[(x+y) + 1] = xy(x-y)(x+y+1)$

3. 最終的な答え

$xy(x-y)(x+y+1)$

## 問題5

1. 問題の内容

半径4cm, 弧の長さ3πcmのおうぎ形の中心角の大きさを求める。

2. 解き方の手順

おうぎ形の弧の長さ$l$、半径$r$、中心角$\theta$（ラジアン）の関係は、$l = r\theta$である。

与えられた情報から、$r=4$cm、$l=3\pi$cmである。

したがって、$3\pi = 4\theta$となる。

$\theta = \frac{3\pi}{4}$ ラジアン。

度数法に変換するには、$\theta$(度) $= \frac{180}{\pi} \theta$(ラジアン)を用いる。

$\theta = \frac{180}{\pi} \times \frac{3\pi}{4} = \frac{180 \times 3}{4} = 45 \times 3 = 135$度

3. 最終的な答え

135度