行列 $A = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ と $B = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、以下の行列を求めよ。 (1) $AX = B$ を満たす行列 $X$ (2) $YB = A$ を満たす行列 $Y$ (3) $(BA)^{-1}$

## 問題7

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ と $B = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、以下の行列を求めよ。

(1) $AX = B$ を満たす行列 $X$

(2) $YB = A$ を満たす行列 $Y$

(3) $(BA)^{-1}$

2. 解き方の手順

(1) $AX = B$ を満たす行列 $X$ を求める。

$A$ の逆行列 $A^{-1}$ を左から掛ける。

$A^{-1}AX = A^{-1}B$

$IX = A^{-1}B$

$X = A^{-1}B$

$A$ の逆行列は

$A^{-1} = \frac{1}{(5)(1) - (2)(1)} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 5 \end{pmatrix} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 5 \end{pmatrix}$

したがって、$X$ は

$X = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 0 & -6 \\ 3 & 18 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 1 & 6 \end{pmatrix}$

(2) $YB = A$ を満たす行列 $Y$ を求める。

$B$ の逆行列 $B^{-1}$ を右から掛ける。

$YBB^{-1} = AB^{-1}$

$YI = AB^{-1}$

$Y = AB^{-1}$

$B$ の逆行列は

$B^{-1} = \frac{1}{(2)(4) - (2)(1)} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$

したがって、$Y$ は

$Y = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 18 & -6 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 1/2 & 0 \end{pmatrix}$

(3) $(BA)^{-1}$ を求める。

$(BA)^{-1} = A^{-1} B^{-1}$

$A^{-1} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 5 \end{pmatrix}$

$B^{-1} = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$

したがって、$(BA)^{-1}$ は

$(BA)^{-1} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 5 \end{pmatrix} \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{18} \begin{pmatrix} 6 & -6 \\ -9 & 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/3 & -1/3 \\ -1/2 & 2/3 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $X = \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 1 & 6 \end{pmatrix}$

(2) $Y = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 1/2 & 0 \end{pmatrix}$

(3) $(BA)^{-1} = \begin{pmatrix} 1/3 & -1/3 \\ -1/2 & 2/3 \end{pmatrix}$