$m, n$ は異なる正の整数とする。2次方程式 $5nx^2 + (mn - 20)x + 4m = 0$ が1より大きい解と1より小さい解をもつような $m, n$ の組 $(m, n)$ をすべて求めよ。

1. 問題の内容

$m, n$ は異なる正の整数とする。2次方程式 $5nx^2 + (mn - 20)x + 4m = 0$ が1より大きい解と1より小さい解をもつような $m, n$ の組 $(m, n)$ をすべて求めよ。

2. 解き方の手順

$f(x) = 5nx^2 + (mn - 20)x + 4m$ とする。

2次方程式 $f(x) = 0$ が1より大きい解と1より小さい解を持つための条件は、$f(1) < 0$ である。

$f(1) = 5n + (mn - 20) + 4m = 5n + mn - 20 + 4m = (m+5)(n+4) - 40 < 0$

したがって、

$(m+5)(n+4) < 40$

$m, n$ は正の整数なので、$m \ge 1, n \ge 1$ であるから、$m+5 \ge 6, n+4 \ge 5$ である。

$m+5, n+4$ はともに整数であるから、

$m+5 > 0, n+4 > 0$

$(m+5)(n+4) < 40$

$m, n$ は異なる正の整数であるから $m \ne n$。

$m+5 \ge 6$ なので、

$n+4 < \frac{40}{6} = \frac{20}{3} = 6.66...$

よって、$n+4 \le 6$ となり、$n \le 2$。

$n = 1$ のとき、$(m+5)(1+4) = 5(m+5) < 40$。

$m+5 < 8$ なので、$m < 3$。

$m = 1$ は $m \ne n$ より不適。$m=2$ ならば条件を満たす。よって $(m, n) = (2, 1)$。

$n = 2$ のとき、$(m+5)(2+4) = 6(m+5) < 40$。

$m+5 < \frac{40}{6} = \frac{20}{3} = 6.66...$

$m+5 \le 6$ なので、$m \le 1$。

$m=1$ ならば条件を満たす。よって $(m, n) = (1, 2)$。

したがって、$m=1, n=2$ のとき、

$5(2)x^2 + (1 \cdot 2 - 20)x + 4(1) = 0$

$10x^2 - 18x + 4 = 0$

$5x^2 - 9x + 2 = 0$

$(5x - 1)(x - 2) = 0$

$x = \frac{1}{5}, 2$

$1/5 < 1, 2 > 1$ を満たす。

$m=2, n=1$ のとき、

$5(1)x^2 + (2 \cdot 1 - 20)x + 4(2) = 0$

$5x^2 - 18x + 8 = 0$

$(5x - 4)(x - 2) = 0$

$x = \frac{4}{5}, 2$

$4/5 < 1, 2 > 1$ を満たす。

3. 最終的な答え

$(m, n) = (1, 2), (2, 1)$