$x, y$ を実数とする。 命題 $p$: $xy$ が無理数である。 命題 $q$: $x, y$ がともに無理数である。 命題 $r$: $x, y$ の少なくとも一方が無理数である。 (1) 選択肢(a)~(f)の中から真の命題をすべて選べ。 (2) $x, y$ が命題 $p \implies q$ の反例であるための必要十分条件を、選択肢(a)~(f)の中からすべて選べ。

1. 問題の内容

$x, y$ を実数とする。

命題 $p$: $xy$ が無理数である。

命題 $q$: $x, y$ がともに無理数である。

命題 $r$: $x, y$ の少なくとも一方が無理数である。

(1) 選択肢(a)~(f)の中から真の命題をすべて選べ。

(2) $x, y$ が命題 $p \implies q$ の反例であるための必要十分条件を、選択肢(a)~(f)の中からすべて選べ。

2. 解き方の手順

(1)

(a) $p \implies q$: $xy$ が無理数ならば、$x$ と $y$ はともに無理数である。これは偽である。例えば、$x = \sqrt{2}, y = 1$ のとき、$xy = \sqrt{2}$ は無理数だが、$y = 1$ は有理数である。

(b) $p \implies r$: $xy$ が無理数ならば、$x$ と $y$ の少なくとも一方が無理数である。これは真である。もし $x$ と $y$ がともに有理数ならば、$xy$ は有理数になるからである。

(c) $q \implies p$: $x$ と $y$ がともに無理数ならば、$xy$ は無理数である。これは偽である。例えば、$x = \sqrt{2}, y = \sqrt{2}$ のとき、$x$ と $y$ はともに無理数だが、$xy = 2$ は有理数である。

(d) $q \implies r$: $x$ と $y$ がともに無理数ならば、$x$ と $y$ の少なくとも一方が無理数である。これは真である。

(e) $r \implies p$: $x$ と $y$ の少なくとも一方が無理数ならば、$xy$ は無理数である。これは偽である。例えば、$x = \sqrt{2}, y = 0$ のとき、$x$ は無理数だが、$xy = 0$ は有理数である。

(f) $r \implies q$: $x$ と $y$ の少なくとも一方が無理数ならば、$x$ と $y$ はともに無理数である。これは偽である。例えば、$x = \sqrt{2}, y = 1$ のとき、$x$ は無理数だが、$y = 1$ は有理数である。

よって、真である命題は (b) と (d) である。

(2)

$p \implies q$ の反例とは、$p$ が真で $q$ が偽である場合である。つまり、$xy$ が無理数であり、$x, y$ がともに無理数ではない場合である。これは、$xy$ が無理数であり、$x$ または $y$ が有理数である場合である。したがって、(d) が求める条件である。

言い換えると、$xy$ が無理数であり、$x$ が有理数または $y$ が有理数である。

3. 最終的な答え

(1) (b), (d)

(2) (d)