問題は、$a \neq 0$ のとき、以下の行列の逆行列を求めることです。 (1) $ \begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 0 & a & 1 \\ 0 & 0 & a \end{pmatrix} $

1. 問題の内容

問題は、$a \neq 0$ のとき、以下の行列の逆行列を求めることです。

(1)

$$

\begin{pmatrix}

a & 1 & 1 \\

0 & a & 1 \\

0 & 0 & a

\end{pmatrix}

$$

2. 解き方の手順

行列 $A = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 0 & a & 1 \\ 0 & 0 & a \end{pmatrix}$ の逆行列 $A^{-1}$ を求める。

まず、行列 $A$ の行列式を計算します。

$det(A) = a \begin{vmatrix} a & 1 \\ 0 & a \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & a \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 0 & a \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = a(a^2 - 0) - 1(0 - 0) + 1(0 - 0) = a^3$.

$a \neq 0$ なので、$det(A) = a^3 \neq 0$ となり、$A$ は逆行列を持ちます。

次に、余因子行列 $C$ を求めます。

$C_{11} = \begin{vmatrix} a & 1 \\ 0 & a \end{vmatrix} = a^2$

$C_{12} = -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & a \end{vmatrix} = 0$

$C_{13} = \begin{vmatrix} 0 & a \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$

$C_{21} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & a \end{vmatrix} = -a$

$C_{22} = \begin{vmatrix} a & 1 \\ 0 & a \end{vmatrix} = a^2$

$C_{23} = -\begin{vmatrix} a & 1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$

$C_{31} = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ a & 1 \end{vmatrix} = 1 - a$

$C_{32} = -\begin{vmatrix} a & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -a$

$C_{33} = \begin{vmatrix} a & 1 \\ 0 & a \end{vmatrix} = a^2$

余因子行列は $C = \begin{pmatrix} a^2 & 0 & 0 \\ -a & a^2 & 0 \\ 1-a & -a & a^2 \end{pmatrix}$。

転置余因子行列（随伴行列）は $adj(A) = C^T = \begin{pmatrix} a^2 & -a & 1-a \\ 0 & a^2 & -a \\ 0 & 0 & a^2 \end{pmatrix}$。

逆行列は $A^{-1} = \frac{1}{det(A)} adj(A) = \frac{1}{a^3} \begin{pmatrix} a^2 & -a & 1-a \\ 0 & a^2 & -a \\ 0 & 0 & a^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{a} & -\frac{1}{a^2} & \frac{1-a}{a^3} \\ 0 & \frac{1}{a} & -\frac{1}{a^2} \\ 0 & 0 & \frac{1}{a} \end{pmatrix}$。

3. 最終的な答え

$$

A^{-1} = \begin{pmatrix}

\frac{1}{a} & -\frac{1}{a^2} & \frac{1-a}{a^3} \\

0 & \frac{1}{a} & -\frac{1}{a^2} \\

0 & 0 & \frac{1}{a}

\end{pmatrix}

$$