与えられた行列に対して、逆行列が存在する場合はそれを求め、存在しない場合はその旨を答える問題です。今回は、(1)と(4)の行列について逆行列を求めます。

1. 問題の内容

与えられた行列に対して、逆行列が存在する場合はそれを求め、存在しない場合はその旨を答える問題です。今回は、(1)と(4)の行列について逆行列を求めます。

2. 解き方の手順

(1) の行列 $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$ の逆行列を求める手順

拡大行列 $(A | E)$ を作り、基本変形を行って $(E | A^{-1})$ の形に変形します。ここで、$E$ は単位行列です。

$\left(\begin{array}{ccc|ccc} 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$

1行目と3行目を交換します。

$\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \end{array}\right)$

2行目から1行目の2倍を引きます。

$\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \end{array}\right)$

3行目から2行目を引きます。

$\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & -1 & 1 & -1 & 2 \end{array}\right)$

3行目に -1 をかけます。

$\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & -2 \end{array}\right)$

1行目に3行目を足します。

$\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & -2 \end{array}\right)$

2行目から3行目の2倍を引きます。

$\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & -2 \end{array}\right)$

したがって、$A^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & -2 \end{pmatrix}$ となります。

(4) の行列 $B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & a & 1 \\ 0 & b & 1 & 0 \\ c & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ の逆行列を求める手順

$B^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -c \\ 0 & 1/b & -1/b & ac/b \\ 1 & -a & 0 & 0 \end{pmatrix}$

ただし，$abc \ne 0$ が前提。

3. 最終的な答え

(1) の逆行列は $A^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & -2 \end{pmatrix}$ です。

(4) の逆行列は $B^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -c \\ 0 & 1/b & -1/b & ac/b \\ 1 & -a & 0 & 0 \end{pmatrix}$ です。（$abc \ne 0$）