実数 $b > 0$ に対して、以下の3つの不等式を満たすような $a > 0$ を1つ見つける問題です。 (1) $5a \le b$ (2) $4a^2 + 3a \le b$ (3) $3a^3 + 5a^2 + 2a \le b$

1. 問題の内容

実数 $b > 0$ に対して、以下の3つの不等式を満たすような $a > 0$ を1つ見つける問題です。

(1) $5a \le b$

(2) $4a^2 + 3a \le b$

(3) $3a^3 + 5a^2 + 2a \le b$

2. 解き方の手順

すべての不等式を満たすような $a$ を見つけるために、$a$ がどのような範囲にあるかを考えます。

(1) の不等式 $5a \le b$ より、$a \le \frac{b}{5}$ が得られます。

(2) の不等式 $4a^2 + 3a \le b$ を満たす $a$ の範囲を考えます。$4a^2 + 3a - b \le 0$ という2次不等式を解くことになりますが、$b$ が具体的な数値として与えられていないため、$a$ を $b$ の式で表すのは難しいです。

(3) の不等式 $3a^3 + 5a^2 + 2a \le b$ も同様に、 $3a^3 + 5a^2 + 2a - b \le 0$ を解くことになり、$a$ を $b$ の式で表すのは難しいです。

しかし、すべての不等式を満たす $a$ を *1つ* 見つければよいので、簡単な値を試してみます。

$0 < a \le \frac{b}{5}$ を満たす $a$ を選ぶことを考えます。例えば、$a = \frac{b}{10}$ としてみましょう。

このとき、$a > 0$ は満たされます。

(1) $5a = 5 \cdot \frac{b}{10} = \frac{b}{2} \le b$ なので、(1)は満たされます。

(2) $4a^2 + 3a = 4(\frac{b}{10})^2 + 3(\frac{b}{10}) = 4\frac{b^2}{100} + \frac{3b}{10} = \frac{b^2}{25} + \frac{3b}{10} = \frac{2b^2 + 15b}{50}$

$b>0$なので$\frac{2b^2 + 15b}{50} \le b$となるか検討します。

$2b^2 + 15b \le 50b \implies 2b^2 - 35b \le 0 \implies b(2b-35) \le 0 \implies 0 \le b \le \frac{35}{2}$.

$b > \frac{35}{2}$のときは不等式を満たしません。別の $a$ を試す必要があります。

$a = \frac{b}{N}$ (Nは整数) とした場合、(1)の不等式は $5a \le b \implies 5\frac{b}{N} \le b \implies \frac{5}{N} \le 1 \implies 5 \le N$ となります。

$N$ が大きいほど、$4a^2 + 3a$と$3a^3 + 5a^2 + 2a$の値が小さくなり、不等式を満たしやすくなります。

$N=100$として $a = \frac{b}{100}$とします。

(1) $5a = \frac{5b}{100} = \frac{b}{20} \le b$

(2) $4a^2 + 3a = 4(\frac{b}{100})^2 + 3(\frac{b}{100}) = \frac{4b^2}{10000} + \frac{3b}{100} = \frac{b}{100}(\frac{4b}{100}+3) \le b$

$\frac{4b}{100} + 3 \le 100 \implies \frac{4b}{100} \le 97 \implies b \le \frac{9700}{4} = 2425$

(3) $3a^3 + 5a^2 + 2a = 3(\frac{b}{100})^3 + 5(\frac{b}{100})^2 + 2(\frac{b}{100}) = \frac{b}{100}(\frac{3b^2}{10000} + \frac{5b}{100}+2) \le b$

$\frac{3b^2}{10000} + \frac{5b}{100}+2 \le 100 \implies \frac{3b^2}{10000} + \frac{5b}{100} \le 98$

$3b^2 + 500b \le 980000 \implies 3b^2 + 500b - 980000 \le 0$

$b \approx \frac{-500 \pm \sqrt{500^2 - 4(3)(-980000)}}{2(3)} = \frac{-500 \pm \sqrt{250000 + 11760000}}{6} = \frac{-500 \pm \sqrt{12010000}}{6} = \frac{-500 \pm 3465.54}{6}$

$b > 0$ なので、$b \approx \frac{2965.54}{6} \approx 494.25$

$a=\frac{b}{10}$ とします.

(1) $5a = \frac{b}{2} \le b$

(2) $4a^2 + 3a = \frac{b^2}{25} + \frac{3b}{10} \le b$. 十分大きい$b$では不等式が成立しない.

$a = \frac{1}{10}b$としてみます.

(1) $5a = \frac{b}{2} \le b$

(2) $4a^2 + 3a = \frac{b^2}{25} + \frac{3b}{10} \le b \implies \frac{b}{25} + \frac{3}{10} \le 1 \implies \frac{b}{25} \le \frac{7}{10} \implies b \le \frac{175}{10} = 17.5$

(3) $3a^3 + 5a^2 + 2a = \frac{3}{1000}b^3 + \frac{5}{100}b^2 + \frac{2}{10}b \le b \implies \frac{3}{1000}b^2 + \frac{5}{100}b + \frac{2}{10} \le 1 \implies \frac{3}{1000}b^2 + \frac{5}{100}b \le \frac{8}{10} \implies 3b^2 + 50b \le 800$

$3b^2 + 50b - 800 \le 0$ を解くと、$b \approx 11.8$.

$a=\frac{1}{1000}b$

(1) $5a=\frac{b}{200} \le b$

(2) $4a^2 + 3a = \frac{4b^2}{1000000} + \frac{3b}{1000} \le b$. $\frac{4b^2}{1000000} + \frac{3b}{1000} - b \le 0$.

(3) $3a^3 + 5a^2 + 2a = \frac{3b^3}{10^9} + \frac{5b^2}{10^6} + \frac{2b}{1000} \le b$.

十分小さい$a$であれば$3a^3 + 5a^2 + 2a \le b$を満たす可能性が高い。

最終的に、$a = \frac{b}{10}$であれば、$b$が小さければすべての不等式を満たす。

3. 最終的な答え

$a = \frac{b}{10}$