$ \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ を計算します。

## 問題の解答

6. 以下の行列演算を求めます。

7. $A = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 10 & a \end{pmatrix}$ が正則であるための条件を求め、逆行列を求めます。

8. $ \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} A \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{pmatrix}$ を満たす正方行列 $A$ を求めます。

9. 与えられた行列 $A, B, C, D, E, F$ から、条件に当てはまる行列を全て選びます。

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6. (1)

1. 問題の内容

$\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、スカラー倍を計算します。

$2 \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -4 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$

次に、行列の和を計算します。

$\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & -4 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+2 & 3+(-4) \\ 2+2 & 0+0 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 4 & 0 \end{pmatrix}$

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6. (2)

1. 問題の内容

$\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、最初の２つの行列の積を計算します。

$\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\cdot1 + (-1)\cdot2 & 3\cdot3 + (-1)\cdot0 \\ 0\cdot1 + 2\cdot2 & 0\cdot3 + 2\cdot0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 9 \\ 4 & 0 \end{pmatrix}$

次に、得られた行列と最後の行列の積を計算します。

$\begin{pmatrix} 1 & 9 \\ 4 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot1 + 9\cdot1 & 1\cdot(-2) + 9\cdot0 \\ 4\cdot1 + 0\cdot1 & 4\cdot(-2) + 0\cdot0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 & -2 \\ 4 & -8 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$\begin{pmatrix} 10 & -2 \\ 4 & -8 \end{pmatrix}$

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6. (3)

1. 問題の内容

$\begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ を計算します。

2. 解き方の手順

行列とベクトルの積を計算します。

$\begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4\cdot1 + 3\cdot1 \\ 1\cdot1 + 2\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 3 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$\begin{pmatrix} 7 \\ 3 \end{pmatrix}$

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6. (4)

1. 問題の内容

$\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -2 \end{pmatrix}$ を計算します。

2. 解き方の手順

行列の積を計算します。

$\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot1 & 1\cdot(-2) \\ 2\cdot1 & 2\cdot(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & -4 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & -4 \end{pmatrix}$

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6. (5)

1. 問題の内容

$\begin{pmatrix} 5 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ を計算します。

2. 解き方の手順

行列の積を計算します。

$\begin{pmatrix} 5 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 5\cdot2 + 1\cdot1 = 10 + 1 = 11$

3. 最終的な答え

$11$

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6. (6)

1. 問題の内容

$\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$ の転置行列を求めます。

2. 解き方の手順

行と列を入れ替えます。

3. 最終的な答え

$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}$

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6. (7)

1. 問題の内容

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \\ 3 & 2 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}$ を計算します。

2. 解き方の手順

行列の和を計算します。

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \\ 3 & 2 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+1 & 3+(-2) & 2+1 \\ 2+1 & 0+0 & 1+2 \\ 3+2 & 2+1 & 4+3 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$\begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 3 & 0 & 3 \\ 5 & 3 & 7 \end{pmatrix}$

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6. (8)

1. 問題の内容

$2 \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ を計算します。

2. 解き方の手順

$\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$ の逆行列を求める.

行列 $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ の逆行列は $\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$ で与えられる.

従って、 $\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$ の逆行列は $\frac{1}{1\cdot 0 - 3\cdot 2} \begin{pmatrix} 0 & -3 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = -\frac{1}{6} \begin{pmatrix} 0 & -3 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{3} & -\frac{1}{6} \end{pmatrix}$

$2 \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}^{-1} = 2 \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{3} & -\frac{1}{6} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 & 0 \cdot (-2) + 1 \cdot 0 \\ \frac{2}{3} \cdot 1 + (-\frac{1}{3}) \cdot 1 & \frac{2}{3} \cdot (-2) + (-\frac{1}{3}) \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \frac{1}{3} & -\frac{4}{3} \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \frac{1}{3} & -\frac{4}{3} \end{pmatrix}$

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6. (9)

1. 問題の内容

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \\ 3 & 2 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}$ を計算します。

2. 解き方の手順

行列の積を計算します。

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \\ 3 & 2 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot 1 + 3\cdot 1 + 2\cdot 2 & 1\cdot (-2) + 3\cdot 0 + 2\cdot 1 & 1\cdot 1 + 3\cdot 2 + 2\cdot 3 \\ 2\cdot 1 + 0\cdot 1 + 1\cdot 2 & 2\cdot (-2) + 0\cdot 0 + 1\cdot 1 & 2\cdot 1 + 0\cdot 2 + 1\cdot 3 \\ 3\cdot 1 + 2\cdot 1 + 4\cdot 2 & 3\cdot (-2) + 2\cdot 0 + 4\cdot 1 & 3\cdot 1 + 2\cdot 2 + 4\cdot 3 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$\begin{pmatrix} 8 & 0 & 13 \\ 4 & -3 & 5 \\ 13 & -2 & 19 \end{pmatrix}$

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6. (10)

1. 問題の内容

$\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ を計算します。

2. 解き方の手順

行列の積を計算します。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ は単位行列なので、 $\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot 1 + 3\cdot 1 & 1\cdot (-2) + 3\cdot 0 \\ 2\cdot 1 + 0\cdot 1 & 2\cdot (-2) + 0\cdot 0 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 2 & -4 \end{pmatrix}$

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7. (1)

1. 問題の内容

$A = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$ のとき、$AX = B$ を満たす行列 $X$ を求めます。

2. 解き方の手順

$X = A^{-1}B$ を計算します。

$A^{-1} = \frac{1}{5\cdot 1 - 2\cdot 1} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 5 \end{pmatrix} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 5 \end{pmatrix}$

$X = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1\cdot 2 + (-2)\cdot 1 & 1\cdot 2 + (-2)\cdot 4 \\ (-1)\cdot 2 + 5\cdot 1 & (-1)\cdot 2 + 5\cdot 4 \end{pmatrix} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 0 & -6 \\ 3 & 18 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 1 & 6 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$X = \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 1 & 6 \end{pmatrix}$

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7. (2)

1. 問題の内容

$A = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$ のとき、$YB = A$ を満たす行列 $Y$ を求めます。

2. 解き方の手順

$Y = AB^{-1}$ を計算します。

$B^{-1} = \frac{1}{2\cdot 4 - 2\cdot 1} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$

$Y = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 5\cdot 4 + 2\cdot (-1) & 5\cdot (-2) + 2\cdot 2 \\ 1\cdot 4 + 1\cdot (-1) & 1\cdot (-2) + 1\cdot 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 18 & -6 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ \frac{1}{2} & 0 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$Y = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ \frac{1}{2} & 0 \end{pmatrix}$

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7. (3)

1. 問題の内容

$A = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$ のとき、$(BA)^{-1}$ を求めます。

2. 解き方の手順

$(BA)^{-1} = A^{-1}B^{-1}$ を計算します。

$A^{-1} = \frac{1}{5\cdot 1 - 2\cdot 1} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 5 \end{pmatrix} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 5 \end{pmatrix}$

$B^{-1} = \frac{1}{2\cdot 4 - 2\cdot 1} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$

$A^{-1}B^{-1} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 5 \end{pmatrix} \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{18} \begin{pmatrix} 1\cdot 4 + (-2)\cdot (-1) & 1\cdot (-2) + (-2)\cdot 2 \\ (-1)\cdot 4 + 5\cdot (-1) & (-1)\cdot (-2) + 5\cdot 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{18} \begin{pmatrix} 6 & -6 \\ -9 & 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \\ -\frac{1}{2} & \frac{2}{3} \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$(BA)^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \\ -\frac{1}{2} & \frac{2}{3} \end{pmatrix}$

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8. (1)

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 10 & a \end{pmatrix}$ が正則であるための条件を求め、逆行列を求めます。

2. 解き方の手順

$A$ が正則である条件は $\det(A) \neq 0$ であることです。

$\det(A) = 5a - 20$

$5a - 20 \neq 0$ より $5a \neq 20$, したがって $a \neq 4$.

$A$ が正則なとき、$A^{-1}$ を求めます。

$A^{-1} = \frac{1}{5a - 20} \begin{pmatrix} a & -2 \\ -10 & 5 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$A$ が正則であるための条件は $a \neq 4$ です。

$A^{-1} = \frac{1}{5a - 20} \begin{pmatrix} a & -2 \\ -10 & 5 \end{pmatrix}$

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8. (2)

1. 問題の内容

$\begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} A \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{pmatrix}$ を満たす正方行列 $A$ を求めます。

2. 解き方の手順

$\begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} = B, \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} = C, \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} = D$ と置くと、$BAC = D$ より $A = B^{-1} D C^{-1}$

$B^{-1} = \frac{1}{3\cdot 5 - 3\cdot 3} \begin{pmatrix} 5 & -3 \\ -3 & 3 \end{pmatrix} = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 5 & -3 \\ -3 & 3 \end{pmatrix}$

$C^{-1} = \frac{1}{1\cdot 3 - 2\cdot 2} \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$

$A = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 5 & -3 \\ -3 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 5\cdot 3 + (-3)\cdot 5 & 5\cdot 4 + (-3)\cdot 6 \\ (-3)\cdot 3 + 3\cdot 5 & (-3)\cdot 4 + 3\cdot 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 6 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 0\cdot (-3) + 2\cdot 2 & 0\cdot 2 + 2\cdot (-1) \\ 6\cdot (-3) + 6\cdot 2 & 6\cdot 2 + 6\cdot (-1) \end{pmatrix} = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -6 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$A = \begin{pmatrix} \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$

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9.

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 7 & 2 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, D = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}, E = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 7 & 2 & 1 \end{pmatrix}, F = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 7 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}$ から、条件に当てはまる行列を全て選びます。

(1) 単位行列, (2) 交代行列, (3) 対角行列, (4) 正則でない正方行列, (5) 2x3行列

2. 解き方の手順

(1) 単位行列：対角成分がすべて1で、それ以外の成分がすべて0である正方行列。

(2) 交代行列：$A^T = -A$ を満たす行列。つまり、対角成分は0で、$a_{ij} = -a_{ji}$ を満たす行列。

(3) 対角行列：対角成分以外の成分がすべて0である正方行列。

(4) 正則でない正方行列：行列式が0である正方行列。

(5) 2x3行列：2行3列の行列。

* $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 7 & 2 \end{pmatrix}$

* $\det(A) = 1\cdot 2 - 2\cdot 7 = 2 - 14 = -12 \neq 0$. よって、正則。

* $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

* $B^T = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = B$. よって、交代行列ではない。

* $\det(B) = 0\cdot 0 - 1\cdot 1 = -1 \neq 0$. よって、正則。

* $C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

* 単位行列である。

* 対角行列でもある。

* $\det(C) = 1 \neq 0$なので、正則である。

* $D = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$

* $\det(D) = 3\cdot 2 - 2\cdot 3 = 6 - 6 = 0$. よって、正則でない。

* $E = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 7 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

* 2x3行列である。

* $F = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 7 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}$

* 正方行列ではない。

3. 最終的な答え

(1) 単位行列：C

(2) 交代行列：なし

(3) 対角行列：C

(4) 正則でない正方行列：D

(5) 2x3行列：E