## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

与えられた数学の問題は以下の通りです。

1. 式 $(a+b+c)^2 - (a-b+c)^2 + (a+b-c)^2 - (a-b-c)^2$ を計算する問題。

2. 次の3つの式を因数分解する問題。

* $a^2 + b^2 + 2ca + 2ab + 2bc$

* $x^4 + x^2 + 1$

* $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) - 3$

3. $x = \sqrt{5} - 2$ のとき、次の式の値を求める問題。

* $x + \frac{1}{x}$

* $x^2 + \frac{1}{x^2}$

* $x^3 + \frac{1}{x^3}$

* $x^4 + \frac{1}{x^4}$

4. 連立不等式

$\begin{cases} x > 3a + 1 \\ 2x - 1 > 6(x - 2) \end{cases}$

を満たす整数 $x$ がちょうど3個存在するとき、以下の問いに答える問題。

* 不等式 $2x - 1 > 6(x - 2)$ を解け。

* 定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

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2. 解き方の手順

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1. 式の計算**

与えられた式を計算します。

$(a+b+c)^2 - (a-b+c)^2 + (a+b-c)^2 - (a-b-c)^2$

$= [(a+b+c)^2 - (a-b+c)^2] + [(a+b-c)^2 - (a-b-c)^2]$

ここで、$A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ を用いると、

$= [(a+b+c + a-b+c)(a+b+c - (a-b+c))] + [(a+b-c + a-b-c)(a+b-c - (a-b-c))]$

$= [(2a+2c)(2b)] + [(2a-2c)(2b)]$

$= 4b(a+c) + 4b(a-c)$

$= 4b(a+c + a-c)$

$= 4b(2a)$

$= 8ab$

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2. 因数分解**

(1) $a^2 + b^2 + 2ca + 2ab + 2bc$

$= a^2 + 2ab + b^2 + 2ca + 2bc$

$= (a+b)^2 + 2c(a+b)$

$= (a+b)(a+b+2c)$

(2) $x^4 + x^2 + 1$

$= x^4 + 2x^2 + 1 - x^2$

$= (x^2 + 1)^2 - x^2$

$= (x^2 + 1 + x)(x^2 + 1 - x)$

$= (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)$

(3) $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) - 3$

$= [(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)] - 3$

$= (x^2 + 5x + 4)(x^2 + 5x + 6) - 3$

ここで、$y = x^2 + 5x$ とおくと、

$= (y + 4)(y + 6) - 3$

$= y^2 + 10y + 24 - 3$

$= y^2 + 10y + 21$

$= (y+3)(y+7)$

元の $x$ に戻すと、

$= (x^2 + 5x + 3)(x^2 + 5x + 7)$

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3. 式の値**

(1) $x = \sqrt{5} - 2$ のとき、$x + \frac{1}{x}$

$\frac{1}{x} = \frac{1}{\sqrt{5} - 2} = \frac{\sqrt{5} + 2}{(\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2)} = \frac{\sqrt{5} + 2}{5 - 4} = \sqrt{5} + 2$

$x + \frac{1}{x} = (\sqrt{5} - 2) + (\sqrt{5} + 2) = 2\sqrt{5}$

(2) $x^2 + \frac{1}{x^2}$

$(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$ より、

$x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2 = (2\sqrt{5})^2 - 2 = 20 - 2 = 18$

(3) $x^3 + \frac{1}{x^3}$

$(x + \frac{1}{x})^3 = x^3 + 3x + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^3} = x^3 + \frac{1}{x^3} + 3(x + \frac{1}{x})$ より、

$x^3 + \frac{1}{x^3} = (x + \frac{1}{x})^3 - 3(x + \frac{1}{x}) = (2\sqrt{5})^3 - 3(2\sqrt{5}) = 40\sqrt{5} - 6\sqrt{5} = 34\sqrt{5}$

(4) $x^4 + \frac{1}{x^4}$

$(x^2 + \frac{1}{x^2})^2 = x^4 + 2 + \frac{1}{x^4}$ より、

$x^4 + \frac{1}{x^4} = (x^2 + \frac{1}{x^2})^2 - 2 = (18)^2 - 2 = 324 - 2 = 322$

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4. 連立不等式**

(1) $2x - 1 > 6(x - 2)$

$2x - 1 > 6x - 12$

$11 > 4x$

$x < \frac{11}{4} = 2.75$

(2) 連立不等式を解く。

$\begin{cases} x > 3a + 1 \\ x < \frac{11}{4} \end{cases}$

この範囲に整数 $x$ がちょうど3個存在するのは、$x = 0,1,2$ の場合です。したがって、$x=3$は範囲に含まれてはいけません。

$3a+1 < 0$ かつ $3a+1 \ge -1$　を満たす必要があります。不等号に注意して下さい。

$\begin{cases} 3a + 1 < 0 \iff a < -\frac{1}{3} \\ 3a + 1 \ge -1 \iff a \ge -\frac{2}{3} \end{cases}$

よって、 $-\frac{2}{3} \le a < -\frac{1}{3}$

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3. 最終的な答え

1. $8ab$

2. * $(a+b)(a+b+2c)$

* $(x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)$

* $(x^2 + 5x + 3)(x^2 + 5x + 7)$

3. * $2\sqrt{5}$

* $18$

* $34\sqrt{5}$

* $322$

4. * $x < \frac{11}{4}$

* $-\frac{2}{3} \le a < -\frac{1}{3}$