階差数列 $b_n$ を持つ数列 $a_n$ において、$n \geq 2$ のときに求めた一般項が $n=1$ で成立しない例を一つ挙げ、そのような例に見られる特徴をまとめる。

1. 問題の内容

階差数列 $b_n$ を持つ数列 $a_n$ において、$n \geq 2$ のときに求めた一般項が $n=1$ で成立しない例を一つ挙げ、そのような例に見られる特徴をまとめる。

2. 解き方の手順

課題I: 具体的な数列の例を挙げる。

数列 $a_n$ の階差数列 $b_n$ を $b_n = n$ とする。

このとき、$n \geq 2$ に対して、数列 $a_n$ の一般項は以下のようになる。

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} k = a_1 + \frac{(n-1)n}{2}$

$n=1$ の場合、$a_1 = a_1$ となる。$n=2$の場合、$a_2 = a_1 + 1$、$n=3$の場合、$a_3 = a_1 + 1 + 2 = a_1 + 3$

このことから、$n \geq 2$ で求めた一般項 $a_n = a_1 + \frac{n(n-1)}{2}$ は、$n=1$ で成立するかを確認する。

$n=1$ を代入すると、$a_1 = a_1 + \frac{1(1-1)}{2} = a_1 + 0 = a_1$ となり、この場合は $n=1$ でも成立する。

別の例として、

$a_1 = 1, a_2 = 2, a_3 = 4, a_4 = 7, a_5 = 11$ の数列を考える。

階差数列 $b_n$ は $1, 2, 3, 4,...$ となり、一般項は $b_n = n$ である。

$n \geq 2$ のとき、$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} k = 1 + \frac{n(n-1)}{2}$

$n=1$ のとき、$a_1 = 1$

$n=2$ のとき、$a_2 = 1 + \frac{2(1)}{2} = 2$

$n=3$ のとき、$a_3 = 1 + \frac{3(2)}{2} = 4$

$n=4$ のとき、$a_4 = 1 + \frac{4(3)}{2} = 7$

今度は別の階差数列の例を考える。

$b_n = 2n - 1$とする。

$a_1 = 1, a_2 = 2, a_3 = 5, a_4 = 10,...$

この数列は、 $a_n = n^2 - 2n + 2$

このとき、$a_1 = 1^2 - 2(1) + 2 = 1$ となり、 $n=1$ でも成立する。

$b_n$ をより複雑な式にする。

$b_n = n^2$ とすると、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} k^2 = a_1 + \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}$

例として、$a_1 = 1$ とする。

$a_n = 1 + \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}$

$n=1$のとき、$a_1 = 1$

$n=2$のとき、$a_2 = 1 + \frac{1(2)(3)}{6} = 2$

$n=3$のとき、$a_3 = 1 + \frac{2(3)(5)}{6} = 6$

$a_1 = 1, a_2 = 2, a_3 = 6, a_4 = 15,...$

$b_n = 2^n$

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2^k = a_1 + \frac{2(2^{n-1}-1)}{2-1} = a_1 + 2^n - 2$

$a_n = a_1 + 2^n - 2$

$n=1$のとき、$a_1 = a_1 + 2^1 - 2 = a_1$

数列 $a_n$ を $a_n = n^2$ とする。

$a_1 = 1, a_2 = 4, a_3 = 9, a_4 = 16,...$

階差数列 $b_n = a_{n+1} - a_n = (n+1)^2 - n^2 = n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n + 1$

$n \geq 2$のとき、$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k+1) = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k+1) = 1 + 2 \sum_{k=1}^{n-1} k + \sum_{k=1}^{n-1} 1$

$a_n = 1 + 2 \frac{(n-1)n}{2} + (n-1) = 1 + n^2 - n + n - 1 = n^2$

この場合は$n=1$でも成立する。

課題II: $n \geq 2$ で求めた一般項が $n=1$ で成立しない場合の特徴

階差数列が複雑な関数であると、$n=1$での成立が保証されない場合がある。

具体例

$a_n = n + \frac{1}{3}(n-1)(n-2)(n-3)$

$a_1 = 1 + \frac{1}{3}(0)(-1)(-2) = 1$

$a_2 = 2 + \frac{1}{3}(1)(0)(-1) = 2$

$a_3 = 3 + \frac{1}{3}(2)(1)(0) = 3$

$a_4 = 4 + \frac{1}{3}(3)(2)(1) = 4 + 2 = 6$

ここで、階差数列 $b_n$ を持つ数列 $a_n$ が $a_n = n (n \geq 2)$、ただし $a_1 = 5$ とする。

このとき、$n \geq 2$ の一般項は $a_n = n$ であるが、$a_1 = 5$ であるため、$n=1$ で成立しない。

このような場合、数列が定義されている範囲全体で一つの式で表せないため、$n=1$ での成立が保証されない。

3. 最終的な答え

課題I:

数列 $a_n$ を以下のように定義する。

$a_n = n (n \geq 2)$, $a_1 = 5$

このとき、$n \geq 2$ での一般項は $a_n = n$ であるが、$n=1$ では $a_1 = 5$ となり、一般項は成立しない。

課題II:

$n \geq 2$ で求めた一般項が $n=1$ で成立しない場合の特徴は、数列が定義されている範囲全体で一つの式で表せないことである。

つまり、$a_1$ が一般項 $a_n$ から独立に定義されている場合に起こる。