(2) 絶対値の不等式 $|x-3| \le -2x$ を解く。 (3) 絶対値の不等式 $|2x-1| < 3x+2$ を解く。

1. 問題の内容

(2) 絶対値の不等式 $|x-3| \le -2x$ を解く。

(3) 絶対値の不等式 $|2x-1| < 3x+2$ を解く。

2. 解き方の手順

(2)

絶対値の定義より、$|x-3|$ は $x-3 \ge 0$ のとき $x-3$ であり、$x-3 < 0$ のとき $-(x-3)$ である。つまり、

$|x-3| = \begin{cases} x-3 & (x \ge 3) \\ -(x-3) & (x < 3) \end{cases}$

したがって、場合分けを行う。

(i) $x \ge 3$ のとき、

$x-3 \le -2x$

$3x \le 3$

$x \le 1$

これは、$x \ge 3$ に矛盾するので、解なし。

(ii) $x < 3$ のとき、

$-(x-3) \le -2x$

$-x+3 \le -2x$

$x \le -3$

$x \le -3$

したがって、$x \le -3$ と $x<3$ より $x \le -3$ 。

(i)(ii) より、解は $x \le -3$ 。

(3)

絶対値の定義より、$|2x-1|$ は $2x-1 \ge 0$ のとき $2x-1$ であり、$2x-1 < 0$ のとき $-(2x-1)$ である。つまり、

$|2x-1| = \begin{cases} 2x-1 & (x \ge \frac{1}{2}) \\ -(2x-1) & (x < \frac{1}{2}) \end{cases}$

したがって、場合分けを行う。

(i) $x \ge \frac{1}{2}$ のとき、

$2x-1 < 3x+2$

$-3 < x$

$x > -3$

したがって、$x \ge \frac{1}{2}$ と $x > -3$ より、$x \ge \frac{1}{2}$ 。

(ii) $x < \frac{1}{2}$ のとき、

$-(2x-1) < 3x+2$

$-2x+1 < 3x+2$

$-1 < 5x$

$x > -\frac{1}{5}$

したがって、$x < \frac{1}{2}$ と $x > -\frac{1}{5}$ より、$-\frac{1}{5} < x < \frac{1}{2}$。

(i)(ii) より、$x \ge \frac{1}{2}$ または $-\frac{1}{5} < x < \frac{1}{2}$ であるから、解は $x > -\frac{1}{5}$。

3. 最終的な答え

(2) $x \le -3$

(3) $x > -\frac{1}{5}$