関数 $y = \sqrt{x+2}$ のグラフと直線 $y = x$ を利用して、不等式 $\sqrt{x+2} > x$ を解き、その解が $[] \le x < 2$ であるときの $[]$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = \sqrt{x+2}$ のグラフと直線 $y = x$ を利用して、不等式 $\sqrt{x+2} > x$ を解き、その解が $[] \le x < 2$ であるときの $[]$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$y = \sqrt{x+2}$ の定義域を考える。根号の中身は0以上でなければならないから、$x+2 \ge 0$ より、$x \ge -2$ である。

次に、不等式 $\sqrt{x+2} > x$ を解く。

この不等式は、グラフにおける $y = \sqrt{x+2}$ が $y = x$ よりも上にある範囲を表す。グラフから、$x = 2$ で交わっていることがわかる。

また、$x < 0$ の場合、$\sqrt{x+2}$ は常に正の値を取るのに対し、$x$ は負の値を取るので、不等式 $\sqrt{x+2} > x$ は常に成立する。定義域を考慮すると $-2 \le x < 0$ である。

$x \ge 0$ の場合、両辺を2乗して

$x + 2 > x^2$

$x^2 - x - 2 < 0$

$(x - 2)(x + 1) < 0$

$-1 < x < 2$

$x \ge 0$ と $-1 < x < 2$ の共通範囲は $0 \le x < 2$ である。

$x < 0$ の範囲と $x \ge 0$ の範囲を合わせたものが $\sqrt{x+2} > x$ の解である。

$-2 \le x < 0$ と $0 \le x < 2$ を合わせると、 $-2 \le x < 2$ となる。

したがって、不等式$\sqrt{x+2} > x$ を解くと、$-2 \le x < 2$となる。

3. 最終的な答え

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