3次方程式 $x^3 - 2x^2 + x + 4 = 0$ を解く問題です。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - 2x^2 + x + 4 = 0$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、整数の解を探します。定数項は4なので、解の候補は $\pm1, \pm2, \pm4$ です。

$x=-1$ を代入すると、 $(-1)^3 - 2(-1)^2 + (-1) + 4 = -1 - 2 - 1 + 4 = 0$ となり、$x = -1$ は解の一つであることが分かります。

したがって、$x^3 - 2x^2 + x + 4$ は $(x + 1)$ で割り切れるはずです。実際に割り算を行うと以下のようになります。

$$$$

\begin{array}{c|cccc}

\multicolumn{2}{r}{x^2} & -3x & +4 \\

\cline{2-5}

x+1 & x^3 & -2x^2 & +x & +4 \\

\multicolumn{2}{r}{x^3} & +x^2 \\

\cline{2-3}

\multicolumn{2}{r}{0} & -3x^2 & +x \\

\multicolumn{2}{r}{} & -3x^2 & -3x \\

\cline{3-4}

\multicolumn{2}{r}{} & 0 & 4x & +4 \\

\multicolumn{2}{r}{} & & 4x & +4 \\

\cline{4-5}

\multicolumn{2}{r}{} & & 0 & 0 \\

\end{array}

$$$$

割り算の結果から、 $x^3 - 2x^2 + x + 4 = (x + 1)(x^2 - 3x + 4)$ と因数分解できます。

次に、2次方程式 $x^2 - 3x + 4 = 0$ を解きます。解の公式を用いると、

$$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(4)}}{2(1)} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 16}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{-7}}{2} = \frac{3 \pm i\sqrt{7}}{2}$$

したがって、2次方程式の解は $x = \frac{3 + i\sqrt{7}}{2}$ と $x = \frac{3 - i\sqrt{7}}{2}$ です。

3. 最終的な答え

$x = -1, \frac{3 + i\sqrt{7}}{2}, \frac{3 - i\sqrt{7}}{2}$