(1) 行列 $\begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 10 & a \end{pmatrix}$ が正則であるための条件と、その逆行列を求める。 (2) $\begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} A \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{pmatrix}$ を満たす行列 $A$ を求める。

1. 問題の内容

(1) 行列 $\begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 10 & a \end{pmatrix}$ が正則であるための条件と、その逆行列を求める。

(2) $\begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} A \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{pmatrix}$ を満たす行列 $A$ を求める。

2. 解き方の手順

(1)

行列 $\begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 10 & a \end{pmatrix}$ が正則であるための条件は、行列式が0でないことである。

行列式を計算すると、

$5a - 2 \times 10 = 5a - 20$

したがって、$5a - 20 \neq 0$ より $a \neq 4$。

逆行列は、行列式を $D$ とすると、$\frac{1}{D} \begin{pmatrix} a & -2 \\ -10 & 5 \end{pmatrix}$ で与えられる。

$D = 5a - 20$ なので、逆行列は

$\frac{1}{5a-20} \begin{pmatrix} a & -2 \\ -10 & 5 \end{pmatrix} = \frac{1}{5(a-4)} \begin{pmatrix} a & -2 \\ -10 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{a}{5(a-4)} & \frac{-2}{5(a-4)} \\ \frac{-10}{5(a-4)} & \frac{5}{5(a-4)} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{a}{5(a-4)} & \frac{-2}{5(a-4)} \\ \frac{-2}{a-4} & \frac{1}{a-4} \end{pmatrix}$

(2)

$\begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} A \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{pmatrix}$

$B = \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}$ 、 $C = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ 、 $D = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{pmatrix}$ とすると、

$BAC = D$

$A = B^{-1} D C^{-1}$

$B$ の行列式は $3 \times 5 - 3 \times 3 = 15 - 9 = 6$

$B^{-1} = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 5 & -3 \\ -3 & 3 \end{pmatrix}$

$C$ の行列式は $1 \times 3 - 2 \times 2 = 3 - 4 = -1$

$C^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$

$A = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 5 & -3 \\ -3 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$

$A = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 15-15 & 20-18 \\ -9+15 & -12+18 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$

$A = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 6 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$

$A = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -18+12 & 12-6 \end{pmatrix}$

$A = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -6 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) 正則であるための条件: $a \neq 4$

逆行列: $\begin{pmatrix} \frac{a}{5(a-4)} & \frac{-2}{5(a-4)} \\ \frac{-2}{a-4} & \frac{1}{a-4} \end{pmatrix}$

(2) $A = \begin{pmatrix} \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$