次の2次方程式が重解を持つように、定数 $k$ の値を定め、そのときの重解を求めよ。 (1) $2x^2 + kx + k = 0$ (2) $x^2 + (k-1)x + (k+2) = 0$

1. 問題の内容

次の2次方程式が重解を持つように、定数 $k$ の値を定め、そのときの重解を求めよ。

(1) $2x^2 + kx + k = 0$

(2) $x^2 + (k-1)x + (k+2) = 0$

2. 解き方の手順

(1)

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ が重解を持つ条件は、判別式 $D = b^2 - 4ac = 0$ である。

与えられた方程式 $2x^2 + kx + k = 0$ において、$a = 2, b = k, c = k$ であるから、判別式は

$D = k^2 - 4(2)(k) = k^2 - 8k$

重解を持つためには $D = 0$ である必要があるので、

$k^2 - 8k = 0$

$k(k - 8) = 0$

$k = 0$ または $k = 8$

$k = 0$ のとき、方程式は $2x^2 = 0$ となり、$x = 0$ (重解)。

$k = 8$ のとき、方程式は $2x^2 + 8x + 8 = 0$ となり、$x^2 + 4x + 4 = 0$。

$(x + 2)^2 = 0$ より、$x = -2$ (重解)。

(2)

与えられた方程式 $x^2 + (k-1)x + (k+2) = 0$ において、$a = 1, b = k-1, c = k+2$ であるから、判別式は

$D = (k-1)^2 - 4(1)(k+2) = k^2 - 2k + 1 - 4k - 8 = k^2 - 6k - 7$

重解を持つためには $D = 0$ である必要があるので、

$k^2 - 6k - 7 = 0$

$(k - 7)(k + 1) = 0$

$k = 7$ または $k = -1$

$k = 7$ のとき、方程式は $x^2 + 6x + 9 = 0$ となり、$(x + 3)^2 = 0$ より、$x = -3$ (重解)。

$k = -1$ のとき、方程式は $x^2 - 2x + 1 = 0$ となり、$(x - 1)^2 = 0$ より、$x = 1$ (重解)。

3. 最終的な答え

(1) $k = 0$ のとき、重解は $x = 0$。

$k = 8$ のとき、重解は $x = -2$。

(2) $k = 7$ のとき、重解は $x = -3$。

$k = -1$ のとき、重解は $x = 1$。