2次方程式 $4x^2 + mx + 1 = 0$ が重解を持つように、定数 $m$ の値を定め、そのときの重解を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $4x^2 + mx + 1 = 0$ が重解を持つように、定数 $m$ の値を定め、そのときの重解を求めよ。

2. 解き方の手順

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ が重解を持つ条件は、判別式 $D = b^2 - 4ac = 0$ となることです。

与えられた2次方程式 $4x^2 + mx + 1 = 0$ に対して、判別式を計算します。

$a = 4$, $b = m$, $c = 1$ なので、判別式 $D$ は次のようになります。

$D = m^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = m^2 - 16$

重解を持つ条件は $D = 0$ なので、

$m^2 - 16 = 0$

$m^2 = 16$

$m = \pm 4$

$m = 4$ のとき、方程式は $4x^2 + 4x + 1 = 0$ となり、これは $(2x + 1)^2 = 0$ と変形できます。したがって、重解は $x = -\frac{1}{2}$ となります。

$m = -4$ のとき、方程式は $4x^2 - 4x + 1 = 0$ となり、これは $(2x - 1)^2 = 0$ と変形できます。したがって、重解は $x = \frac{1}{2}$ となります。

3. 最終的な答え

$m = 4$ のとき、重解は $x = -\frac{1}{2}$

$m = -4$ のとき、重解は $x = \frac{1}{2}$