## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

与えられた画像に記載された数学の問題を解きます。具体的には、行列の計算（加算、乗算、転置、逆行列）や、条件を満たす行列の選択などが含まれます。

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2. 解き方の手順

画像に記載された問題のうち、いくつかを選んで解いていきます。

**6 (1): 行列の加算**

与えられた行列の和を計算します。

$\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+1 & 3+(-2) \\ 2+1 & 0+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}$

**6 (2): 行列の乗算**

与えられた行列の積を計算します。

$\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1*1 + 3*1 & 1*(-2) + 3*0 \\ 2*1 + 0*1 & 2*(-2) + 0*0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 2 & -4 \end{pmatrix}$

**6 (6): 転置行列**

与えられた行列の転置行列を計算します。

$\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$ の転置行列は、行と列を入れ替えることで得られます。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}$

**7 (1): AX = B を満たす行列 X**

$A = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$ が与えられています。$AX = B$ を満たす行列 $X$ を求めるためには、$X = A^{-1}B$ を計算します。

まず、$A^{-1}$を求めます。$A$の行列式は$5*1 - 2*1 = 3$です。したがって、$A^{-1} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 5 \end{pmatrix}$となります。

次に、$X = A^{-1}B$を計算します。

$X = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1*2 + (-2)*1 & 1*2 + (-2)*4 \\ -1*2 + 5*1 & -1*2 + 5*4 \end{pmatrix} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 0 & -6 \\ 3 & 18 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 1 & 6 \end{pmatrix}$

**8 (1): 正則であるための条件と逆行列**

$\begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 10 & a \end{pmatrix}$ が正則であるためには、行列式が0でないことが条件です。

行列式は、$5a - 20$ です。

したがって、$5a - 20 \neq 0$ より、$a \neq 4$ が正則であるための条件です。

次に、逆行列を求めます。$a \neq 4$のとき、逆行列は、

$\frac{1}{5a-20} \begin{pmatrix} a & -2 \\ -10 & 5 \end{pmatrix}$

**9: 条件にあてはまる行列を選ぶ**

行列 A, B, C, D, E, F について、それぞれの条件に当てはまるものを選びます。

(1) 単位行列: C

(2) 交代行列: なし (交代行列は対角成分が全て0であり、かつA^T = -Aを満たす行列)

(3) 対角行列: C, B

(4) 正則でない正方行列: F (行列式が0なので正則でない)

(5) 2x3行列: E

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3. 最終的な答え

**6 (1):** $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}$

**6 (2):** $\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 2 & -4 \end{pmatrix}$

**6 (6):** $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}$

**7 (1):** $\begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 1 & 6 \end{pmatrix}$

**8 (1):** 正則である条件: $a \neq 4$, 逆行列: $\frac{1}{5a-20} \begin{pmatrix} a & -2 \\ -10 & 5 \end{pmatrix}$

**9:** (1) C, (2) なし, (3) C, B (4) F, (5) E