関数 $y = -|x-2| + 3$ (これを式①とします) について、以下の問いに答えます。 (1) 式①のグラフを描く。 (2) $-1 \le x \le 3$ の範囲における式①の値域を求める。 (3) $a < 2 < b$ を満たす定数 $a, b$ について、$a \le x \le b$ における式①の値域が $2-a \le y \le b$ となるような $a, b$ の値を求める。

はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

関数 $y = -|x-2| + 3$ (これを式①とします) について、以下の問いに答えます。

(1) 式①のグラフを描く。

(2) $-1 \le x \le 3$ の範囲における式①の値域を求める。

(3) $a < 2 < b$ を満たす定数 $a, b$ について、$a \le x \le b$ における式①の値域が $2-a \le y \le b$ となるような $a, b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) グラフの描画

まず、$y = -|x-2| + 3$ のグラフを描きます。

絶対値記号があるので、$x-2 \ge 0$ つまり $x \ge 2$ のときと、$x-2 < 0$ つまり $x < 2$ のときで場合分けをします。

(i) $x \ge 2$ のとき

$y = -(x-2) + 3 = -x + 5$

(ii) $x < 2$ のとき

$y = -(-(x-2)) + 3 = x - 2 + 3 = x + 1$

したがって、

$x \ge 2$ のとき $y = -x + 5$

$x < 2$ のとき $y = x + 1$

となります。

この2つの直線をつなぎ合わせたものがグラフになります。グラフは $x=2$ で折れ曲がり、頂点の座標は$(2, 3)$です。

(2) $-1 \le x \le 3$ の範囲における値域の計算

$x$ の範囲が $-1 \le x \le 3$ のとき、対応する $y$ の範囲を求めます。

$x = -1$ のとき $y = -1 + 1 = 0$

$x = 2$ のとき $y = -2 + 5 = 3$ （頂点）

$x = 3$ のとき $y = -3 + 5 = 2$

したがって、$-1 \le x \le 3$ の範囲では、$0 \le y \le 3$ となります。

(3) $a, b$ の値の計算

$a < 2 < b$ であり、$a \le x \le b$ における値域が $2-a \le y \le b$ となる $a, b$ を求めます。

$x = 2$ で最大値 $3$ をとるので、$b = 3$ である必要があります。なぜなら，$a \le x \le b$の区間で$x=2$が含まれており、最大値は$3$だからです。

次に、$x = a$ のとき $y = 2-a$ となる必要があります。$a<2$ より、$y = x + 1$ に $x = a$ を代入すると、$y = a + 1$ となります。

したがって、$a + 1 = 2 - a$ となる $a$ を求めます。

$2a = 1$

$a = \frac{1}{2}$

$a < 2 < b$ の条件を満たし、$a \le x \le b$ の範囲の値域が $2-a \le y \le b$ となるためには、$a = \frac{1}{2}$ かつ $b = 3$ である必要があります。

3. 最終的な答え

(1) グラフ: $x \ge 2$ で $y = -x + 5$、 $x < 2$ で $y = x + 1$ となる折れ線グラフ（頂点は $(2,3)$）。

(2) 値域: $0 \le y \le 3$

(3) $a, b$ の値: $a = \frac{1}{2}$, $b = 3$