与えられた行列 A, B, C, D, E, F に対して、以下の条件を満たす行列をそれぞれすべて選択する問題です。 (1) 単位行列 (2) 交代行列 (3) 対角行列 (4) 正則でない正方行列 (5) 2x3 行列

1. 問題の内容

与えられた行列 A, B, C, D, E, F に対して、以下の条件を満たす行列をそれぞれすべて選択する問題です。

(1) 単位行列

(2) 交代行列

(3) 対角行列

(4) 正則でない正方行列

(5) 2x3 行列

2. 解き方の手順

まず、それぞれの行列がどの条件を満たすか確認します。

* 行列 A:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 7 & 2 \end{pmatrix}$

- 単位行列ではない。

- 交代行列ではない（対角成分がすべて0でない）。

- 対角行列ではない（非対角成分が0でない）。

- $\det(A) = (1)(2) - (2)(7) = 2 - 14 = -12 \neq 0$ より、正則である。

- 2x2 行列である。

* 行列 B:

$B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

- 単位行列ではない。

- 交代行列ではない（対角成分がすべて0ではない。また$B^T = B$なので対称行列）。

- 対角行列ではない。

- $\det(B) = (0)(0) - (1)(1) = -1 \neq 0$ より、正則である。

- 2x2 行列である。

* 行列 C:

$C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

- 単位行列である。

- 対角行列である。

- $\det(C) = (1)(1) - (0)(0) = 1 \neq 0$ より、正則である。

- 2x2 行列である。

* 行列 D:

$D = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$

- 単位行列ではない。

- 交代行列ではない。

- 対角行列ではない。

- $\det(D) = (3)(2) - (2)(3) = 6 - 6 = 0$ より、正則でない。

- 2x2 行列である。

* 行列 E:

$E = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 7 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

- 単位行列ではない。

- 正方行列ではないので、交代行列、対角行列、正則かどうかは考えない。

- 2x3 行列である。

* 行列 F:

$F = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 7 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}$

- 単位行列ではない。

- 正方行列ではないので、交代行列、対角行列、正則かどうかは考えない。

- 3x2行列である。

したがって、各条件を満たす行列は次のようになります。

(1) 単位行列: C

(2) 交代行列: なし

(3) 対角行列: C

(4) 正則でない正方行列: D

(5) 2x3 行列: E

3. 最終的な答え

(1) C

(2) なし

(3) C

(4) D

(5) E