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次の式の取りうる値の範囲を求める問題です。 (1) $ \sin\theta + 2 $ ($ 0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ $) (2) $ 3\cos\theta - 2 $ ($ 0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ $) (3) $ -2\cos\theta + 1 $ ($ 60^\circ \leq \theta \leq 150^\circ $) (4) $ \sqrt{3}\tan\theta - 3 $ ($ 30^\circ \leq \theta < 60^\circ $)

代数学三角関数関数の最大最小不等式
2025/6/2

1. 問題の内容

次の式の取りうる値の範囲を求める問題です。
(1) sin⁡θ+2 \sin\theta + 2 (0∘≤θ≤180∘ 0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ )
(2) 3cos⁡θ−2 3\cos\theta - 2 (0∘≤θ≤180∘ 0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ )
(3) −2cos⁡θ+1 -2\cos\theta + 1 (60∘≤θ≤150∘ 60^\circ \leq \theta \leq 150^\circ )
(4) 3tan⁡θ−3 \sqrt{3}\tan\theta - 3 (30∘≤θ<60∘ 30^\circ \leq \theta < 60^\circ )

2. 解き方の手順

(1) sin⁡θ+2 \sin\theta + 2 の場合、0∘≤θ≤180∘ 0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ で 0≤sin⁡θ≤1 0 \leq \sin\theta \leq 1 。
したがって、0+2≤sin⁡θ+2≤1+2 0 + 2 \leq \sin\theta + 2 \leq 1 + 2 となり、2≤sin⁡θ+2≤3 2 \leq \sin\theta + 2 \leq 3 。
(2) 3cos⁡θ−2 3\cos\theta - 2 の場合、0∘≤θ≤180∘ 0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ で −1≤cos⁡θ≤1 -1 \leq \cos\theta \leq 1 。
したがって、3(−1)−2≤3cos⁡θ−2≤3(1)−2 3(-1) - 2 \leq 3\cos\theta - 2 \leq 3(1) - 2 となり、−5≤3cos⁡θ−2≤1 -5 \leq 3\cos\theta - 2 \leq 1 。
(3) −2cos⁡θ+1 -2\cos\theta + 1 の場合、60∘≤θ≤150∘ 60^\circ \leq \theta \leq 150^\circ で −32≤cos⁡θ≤12 -\frac{\sqrt{3}}{2} \leq \cos\theta \leq \frac{1}{2} 。
したがって、−2(12)+1≤−2cos⁡θ+1≤−2(−32)+1 -2(\frac{1}{2}) + 1 \leq -2\cos\theta + 1 \leq -2(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 1 となり、−1+1≤−2cos⁡θ+1≤3+1 -1 + 1 \leq -2\cos\theta + 1 \leq \sqrt{3} + 1 。
よって、0≤−2cos⁡θ+1≤3+1 0 \leq -2\cos\theta + 1 \leq \sqrt{3} + 1 。
(4) 3tan⁡θ−3 \sqrt{3}\tan\theta - 3 の場合、30∘≤θ<60∘ 30^\circ \leq \theta < 60^\circ で 13≤tan⁡θ<3 \frac{1}{\sqrt{3}} \leq \tan\theta < \sqrt{3} 。
したがって、3(13)−3≤3tan⁡θ−3<3(3)−3 \sqrt{3}(\frac{1}{\sqrt{3}}) - 3 \leq \sqrt{3}\tan\theta - 3 < \sqrt{3}(\sqrt{3}) - 3 となり、1−3≤3tan⁡θ−3<3−3 1 - 3 \leq \sqrt{3}\tan\theta - 3 < 3 - 3 。
よって、−2≤3tan⁡θ−3<0 -2 \leq \sqrt{3}\tan\theta - 3 < 0 。

3. 最終的な答え

(1) 2≤sin⁡θ+2≤3 2 \leq \sin\theta + 2 \leq 3
(2) −5≤3cos⁡θ−2≤1 -5 \leq 3\cos\theta - 2 \leq 1
(3) 0≤−2cos⁡θ+1≤3+1 0 \leq -2\cos\theta + 1 \leq \sqrt{3} + 1
(4) −2≤3tan⁡θ−3<0 -2 \leq \sqrt{3}\tan\theta - 3 < 0

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