行列式の性質を用いて、次の等式を示す問題です。 $$ \begin{vmatrix} a+b+2c & a & b \\ c & b+c+2a & b \\ c & a & c+a+2b \end{vmatrix} = 2(a+b+c)^3 $$

1. 問題の内容

行列式の性質を用いて、次の等式を示す問題です。

$$\begin{vmatrix} a+b+2c & a & b \\ c & b+c+2a & b \\ c & a & c+a+2b \end{vmatrix} = 2(a+b+c)^3$$

2. 解き方の手順

まず、第2列と第3列を第1列に加えます。

$$\begin{vmatrix} a+b+2c & a & b \\ c & b+c+2a & b \\ c & a & c+a+2b \end{vmatrix} \overset{性質③}{=} \begin{vmatrix} a+b+2c+a+b & a & b \\ c+b+c+2a+b & b+c+2a & b \\ c+a+c+a+2b & a & c+a+2b \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2(a+b+c) & a & b \\ 2(a+b+c) & b+c+2a & b \\ 2(a+b+c) & a & c+a+2b \end{vmatrix}$$

次に、第1列から $2(a+b+c)$ をくくり出します。(性質①)

$$\begin{vmatrix} 2(a+b+c) & a & b \\ 2(a+b+c) & b+c+2a & b \\ 2(a+b+c) & a & c+a+2b \end{vmatrix} \overset{性質①}{=} 2(a+b+c) \begin{vmatrix} 1 & a & b \\ 1 & b+c+2a & b \\ 1 & a & c+a+2b \end{vmatrix}$$

次に、第2行から第1行を引き、第3行から第1行を引きます。(性質③)

$$2(a+b+c) \begin{vmatrix} 1 & a & b \\ 1 & b+c+2a & b \\ 1 & a & c+a+2b \end{vmatrix} \overset{性質③}{=} 2(a+b+c) \begin{vmatrix} 1 & a & b \\ 0 & b+c+2a-a & b-b \\ 0 & a-a & c+a+2b-b \end{vmatrix} = 2(a+b+c) \begin{vmatrix} 1 & a & b \\ 0 & a+b+c & 0 \\ 0 & 0 & a+b+c \end{vmatrix}$$

最後に、行列式を計算します。

$$2(a+b+c) \begin{vmatrix} 1 & a & b \\ 0 & a+b+c & 0 \\ 0 & 0 & a+b+c \end{vmatrix} = 2(a+b+c) \cdot 1 \cdot (a+b+c) \cdot (a+b+c) = 2(a+b+c)^3$$

3. 最終的な答え

$$\begin{vmatrix} a+b+2c & a & b \\ c & b+c+2a & b \\ c & a & c+a+2b \end{vmatrix} = 2(a+b+c)^3$$