数列 $10, 8, 4, -2, -10, \dots$ の一般項を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $10, 8, 4, -2, -10, \dots$ の一般項を求める問題です。

2. 解き方の手順

数列が等差数列であるか確認します。

$8 - 10 = -2$

$4 - 8 = -4$

$-2 - 4 = -6$

$-10 - (-2) = -8$

数列の差が一定ではないため、等差数列ではありません。階差数列を考えます。階差数列とは、隣り合う項の差を取ってできる数列です。

階差数列は $-2, -4, -6, -8, \dots$ となります。この階差数列は初項が-2、公差が-2の等差数列です。

階差数列の一般項を $b_n$ とすると、

$b_n = -2 + (n-1)(-2) = -2 - 2n + 2 = -2n$

元の数列の一般項を $a_n$ とすると、$n \ge 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$

$a_n = 10 + \sum_{k=1}^{n-1} (-2k) = 10 - 2 \sum_{k=1}^{n-1} k$

$\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}$ なので、

$a_n = 10 - 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2} = 10 - n(n-1) = 10 - n^2 + n = -n^2 + n + 10$

$n = 1$ のとき $a_1 = -1^2 + 1 + 10 = -1 + 1 + 10 = 10$ となり、初項と一致します。

3. 最終的な答え

$a_n = -n^2 + n + 10$