2次関数 $f(x) = 2x^2 - 4ax + 4a^2 + 7a - 30$ について、そのグラフ $y = f(x)$ と $x$ 軸との共有点の個数を、$a$ の値によって分類する問題です。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = 2x^2 - 4ax + 4a^2 + 7a - 30$ について、そのグラフ $y = f(x)$ と $x$ 軸との共有点の個数を、$a$ の値によって分類する問題です。

2. 解き方の手順

まず、2次関数 $f(x)$ の判別式 $D$ を計算します。

$D = (-4a)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (4a^2 + 7a - 30) = 16a^2 - 8(4a^2 + 7a - 30) = 16a^2 - 32a^2 - 56a + 240 = -16a^2 - 56a + 240$

判別式 $D$ を計算しやすくするため、$-8$ でくくります。

$D = -8(2a^2 + 7a - 30)$

$2a^2 + 7a - 30$ を因数分解します。

$2a^2 + 7a - 30 = (2a - 5)(a + 6)$

よって、$D = -8(2a - 5)(a + 6)$ となります。

グラフと $x$ 軸との共有点の個数は、$D$ の符号によって決まります。

(1) $D > 0$ のとき、共有点は2個

$-8(2a - 5)(a + 6) > 0$

$(2a - 5)(a + 6) < 0$

$-6 < a < \frac{5}{2}$

(2) $D = 0$ のとき、共有点は1個

$-8(2a - 5)(a + 6) = 0$

$(2a - 5)(a + 6) = 0$

$a = -6, \frac{5}{2}$

(3) $D < 0$ のとき、共有点は0個

$-8(2a - 5)(a + 6) < 0$

$(2a - 5)(a + 6) > 0$

$a < -6, a > \frac{5}{2}$

3. 最終的な答え

$-6 < a < \frac{5}{2}$ のとき、共有点は2個。

$a = -6$ または $a = \frac{5}{2}$ のとき、共有点は1個。

それ以外の場合は共有点は0個。