与えられた条件から一次関数 $f(x)$ を求める問題です。 (1) $f(0) = 3$, $f(1) = 4$ (2) $f(-1) = -1$, $f(-2) = 1$ (3) $f(-cd^2) = 0$, $f(c) = 1 + d^2$ ただし、$c, d$ は定数で $c \neq 0$ です。

1. 問題の内容

与えられた条件から一次関数 $f(x)$ を求める問題です。

(1) $f(0) = 3$, $f(1) = 4$

(2) $f(-1) = -1$, $f(-2) = 1$

(3) $f(-cd^2) = 0$, $f(c) = 1 + d^2$

ただし、$c, d$ は定数で $c \neq 0$ です。

2. 解き方の手順

一次関数は $f(x) = ax + b$ と表せるので、与えられた条件から $a$ と $b$ を求めます。

(1) $f(0) = 3$, $f(1) = 4$ より

$f(0) = a(0) + b = b = 3$

$f(1) = a(1) + b = a + 3 = 4$

よって、$a = 1$。したがって、$f(x) = x + 3$。

(2) $f(-1) = -1$, $f(-2) = 1$ より

$f(-1) = a(-1) + b = -a + b = -1$

$f(-2) = a(-2) + b = -2a + b = 1$

2つの式を引き算すると、

$(-a + b) - (-2a + b) = -1 - 1$

$a = -2$

$-a + b = -1$ に代入すると、

$-(-2) + b = -1$

$2 + b = -1$

$b = -3$

したがって、$f(x) = -2x - 3$。

(3) $f(-cd^2) = 0$, $f(c) = 1 + d^2$ より

$f(-cd^2) = a(-cd^2) + b = -acd^2 + b = 0$

$f(c) = a(c) + b = ac + b = 1 + d^2$

2つの式を引き算すると、

$(-acd^2 + b) - (ac + b) = 0 - (1 + d^2)$

$-acd^2 - ac = -1 - d^2$

$-ac(d^2 + 1) = -(d^2 + 1)$

$ac = 1$

$a = \frac{1}{c}$

$ac + b = 1 + d^2$ に代入すると、

$1 + b = 1 + d^2$

$b = d^2$

したがって、$f(x) = \frac{1}{c}x + d^2$。

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = x + 3$

(2) $f(x) = -2x - 3$

(3) $f(x) = \frac{1}{c}x + d^2$