2次方程式 $x^2 + (k-3)x + k = 0$ が2重解を持つような定数 $k$ の値を求め、そのときの2重解を求める。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + (k-3)x + k = 0$ が2重解を持つような定数 $k$ の値を求め、そのときの2重解を求める。

2. 解き方の手順

2次方程式が重解を持つ条件は、判別式 $D$ が0となることである。

与えられた2次方程式の判別式 $D$ は、

$D = (k-3)^2 - 4(1)(k)$

$D = k^2 - 6k + 9 - 4k$

$D = k^2 - 10k + 9$

2重解を持つためには、$D = 0$ である必要があるので、

$k^2 - 10k + 9 = 0$

$(k-1)(k-9) = 0$

よって、$k = 1$ または $k = 9$

(i) $k = 1$ のとき

2次方程式は $x^2 + (1-3)x + 1 = 0$ つまり $x^2 - 2x + 1 = 0$ となる。

$(x-1)^2 = 0$

$x = 1$ （重解）

(ii) $k = 9$ のとき

2次方程式は $x^2 + (9-3)x + 9 = 0$ つまり $x^2 + 6x + 9 = 0$ となる。

$(x+3)^2 = 0$

$x = -3$ （重解）

3. 最終的な答え

$k = 1$ のとき、重解は $x = 1$

$k = 9$ のとき、重解は $x = -3$